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中考数学专题讲座 探索性问题 概述： 探索性题目一般作为压轴题或次压轴题出现，题目较难，难在结论不肯定，要通过探索证明或计算，得出结论，并给予肯定或否定回答：这种题目的结论有多样性，需要解题的周密考虑，解这种题目有两种方法：一种是假定结论成立，去证明它的可能性或存在性；另一种是从条件出发直接证明或计算回答存在或不存在． 典型例题精析 例1．如图1，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3．S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3S1、S2S3表示，使S1、S2、S3之 解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2．（1）S1=S2+S3）S1=S2+S3， 显然：S1=c2，S2=a2，S3=b2， ∴S2+S3=（a2+b2）=c2=S1． 时，S1=S2+S3．，， ∴=1， ∴S1=S2+S3． S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3． 例2．如图1，⊙O1和⊙O2外切于P，AB是⊙O1和⊙O2的公切线，A、B是切点，直线AP、BP分别交⊙O2，⊙O1于F、E． （1）求证：AE、BF分别为⊙O1、⊙O2的直径； （2）求证：AB2=AE·BF； （3）如图2，当图1中的切点P变为两圆一个交点时，结论AB2=AE·BF还成立吗？若 分析：（1）即证∠APE=∠BPF=90°，过P作二圆公切线，可证明． （2）证明△ABE∽△BFA可得． （3）同样可证△ABE∽△BFA． ∴∠E=∠BAF，∠F=∠ABE． 中考样题训练 1．如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别作饼速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动 ，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动． （1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式． （2）试在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标． （3）设从出发起运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围． （4）设从出发起，运动了t秒钟，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由． 2．如图，⊙O2与⊙O11上，直线AD与⊙O2上时，求证： ①△FDC∽△FCE； ②AB∥EC； （2）如图2，当点A在上时，是否仍有AB∥EC？请证明你的结论． 3．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A 半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连结两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D． （1）若PC=PD，求PB的长； （2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC+PD=4？如果存在，问这样的P点有几个；并求出PB的值；如果不存在，说明理由； （3）当点P在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD，请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论． 4．三月三，放风筝，图中是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道∠DEH=∠DFH．请你用所学知识给予证明． 考前热身训练 1．填空题 （1）观察下列等式，你会发现什么规律？ 3×5=15，而15=42-1， 5×7=35，而35=62-1，… 11×13=143，而143=122-1，… 将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来_ ___________________． （2）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D，过D作⊙O的切线交AC于E，使得DE⊥AC，则△ABC的边必须满足的条件是________． 2．已知反比例函数y=（k≠0）和一次函数y=-x+8． （1）若一次函数和反比例函数的图象交于点（4，m），求m和k； （2）k满足什么条件时，这两个函数图象有两个不同的交点？ （3）设（2）中的两个交点为A、B，试判定∠AOB是锐角还是钝角？ 3．如图，在