《数列》专题(教学设计).docVIP

数列专题一：通项公式 教学目标： 一、等差数列、等比数列的概念、通2项公式、前n项和公式及性质; 二、已知求数列{an}的通项。 三、掌握常见递推数列求通项的方法。 回顾练习： 1．已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　B　） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ． 2、设数列的前n项和为,且，则= 。 3、已知数列满足：则________；=_________. 【答案】1，0 【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意，得，. . ∴应填1，0. 4．若{}为等比数列，且，数列满足求的通项公式。() 考点一：等差等比数列 1、已知数列中，，，且． （Ⅰ）设，证明是等比数列； （Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项． 本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设，得 ， 即 ． 又，，所以是首项为1，公比为的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）， ， ， …… ． 将以上各式相加，得．所以当时， 上式对显然成立． （Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故． 由可得，由得 ， ① 整理得，解得或（舍去）．于是 ． 另一方面， ， ． 由①可得 ． 所以对任意的，是与的等差中项． 是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。 （1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。 【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。 （1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，, (2) （方法一）=,设， 则=, 所以为8的约数 （方法二）因为为数列中的项， 故为整数，又由（1）知：为奇数，所以 经检验，符合题意的正整数只有。. 考点二：含的递推数列 3、已知数列的前项和为，且， (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数. 解析：(1) 当n(1时，a1((14；当n≥2时，an(Sn(Sn(1((5an(5an(1(1，所以，又a1(1((15≠0，所以数列{an(1}是等比数列；(2) 由(1)知：，得，从而(n(N*)；由Sn(1Sn，得，，最小正整数n(15． 考点三：常见递推数列求通项 4、（1）已知数列｛a｝中，a＝0,n∈N，a＝a＋（2n－1），则a= 。 （2）已知数列｛a｝中，a=1， n∈N，a=a＋3 n ，则a= 。 （3）设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0(n)，则a= 。 （4）已知数列满足以下递推关系，则a= 。 （5）在数列{an}中，a1=2，，则a= 。 解：∵，∴，∴数列{}是以为首项，为公差的等差数列，∴ =，∴ 5、已知数列{ an}满足a1=1，an+1= 2an＋n，n∈N求数列{an}的通项公式。 解：令an+1+ a(n+1)+ b(n+1) + c = 2(an+ an+ bn + c) 即 an+1= 2an+ (2a–a)n+ (2b -2a – b)n +2c –a –b – c 比较系数得： 解得：a=1，b=2，c=3 ∴ an+1+ (n+1)+2(n+1) + 3 = 2(an+ n+2n + 3) ∵ a1+1+2×1+3 = 7 令bn= an+ n+2n + 3 则 bn+1= 2bn ，b1= 7 ，∴数列{ bn}为首项为7，公比为2的等比数列 ∴ bn= 7× 2， 即 an+ n+2n + 3 = 7× 2 ， ∴ an= 7× 2－ n+2n + 3 ) （n∈N） 6、若a=1，a= 2 a+ 3，(n = 2、3、4…) ，求数列{a}的通项a． 解: ∵ an= 2 an-1+ 3 ∴ 令an+ x×3= 2(an-1+x×3) 得 an= 2 an-1－x×3 ,令-x×3n-1= 3n-1 x = -1 , ∴ an－3= 2(an-1－3) 又 ∵ a1－3 = - 2 ∴数列{an-3n}是首项为-2,公比为2的等比数列． ∴=-2·2 即a= 3-2 n∈N 7、若a=1，a= 3 a+ 2x3，(n = 2、3、4…) ，求数列{a}的通项a． 8、已知数列{}中，，，，能否写出它的通项公式？ 解：可变为 或， {}和{}