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* 09微积分辅导讲座 (龚漫奇) 一、数学解题的唯一工具 “等式代换，其他照抄” 即已知“口= O”时，可用“口”换“O”，其他照抄。 等式=公式,要背。代换,要用换元(数学最大的技巧),换元= 把反复出现的一团东西用一个字表示。照抄,少错是素质 基本公式 基本方法 导数公式P87-3. 期中卷分析: 难度_稍难; 计算量_太大. 较易题(双基类):一、2,3,6,8,10；二、3,4,5,9；三、1,2,3； 四、1,2；五、1,3；六、2；十二(共44分) 微难题(加初数):一、4,5；二、1,2,7,8；七、九(共24分) 中难题( ):一、1,7,9；六、1；八、1； 十、十一(共22分) 高难题( ):二、5,10；五、2；八、2；(共10分) 数学(适合)复习方法:先做卷子(不要先看书),不看答案,卡 着时间.发现问题仔细搞懂,尤其看是否双基. 参考资料 1.电子资料:参考卷(手写后照片(G1到G4,期中1份,期末 1份.本讲座讲稿,在本电脑.想要的课后到前面复制). 2.参考书.本校出版社(在东区最高楼7层)的《微积分辅 导》上、下，《全国研究生入学考试数学复习指南》 例4:已知 f (x) 的导数是sinx,则 f (x)的 原函数(不要遗漏)=? 解:所求=? -sinx +C? 错! 拍脑袋做题法不行 正解:先把语言翻译成数学语言(如等式)-常用 已知 所求= 再背移项公式: 所求= 类似题=教材P52-6,已知f在0连,证f在R连 二、用微分基础理论“利用f 导数的正负确定f 的增 减,可得f 的草图,故可知f 的极值,最值,值域,不等式, f (x)=0有几个根,等”,造辅助函数H(x)求解的题型. 先简述下面。 1、证恒等式： 2、证 3、证不等式： 4、求方程“左=右”的根的个数。 左=右。令H(x)=左-右,再用基础理论。 也可将“左=右”做恒等变形(如乘除移项,两边取ln等)再做 令H(x)= 接着背0点定理.或令H(x)= 左右。令H(x)=左-右,再用基础理论。 接着背罗尔定理. 令H(x)=左-右,再用基础理论。 也可将“左=右”做恒等变形再做(下同) (画草图的描点法:先找到函数单调区间的端点,再画 端点对应的点,最后将画出的点单调连线) 例5(教材P131-14): 已知 f (0)=1,且 (用前面) 1、证恒等式： 左=右。令H(x)=左-右,再用基础理论。 也可将“左=右”做恒等变形(如乘除移项,两边取ln等)再做 [令H(x)=左-右= 证： 做恒等变形(乘除移项): 例6(期中卷十): 论证 分析:即证 这很象证函数不等式,所以改证 用前面3、证不等式： 左右。令H(x)=左-右,再用基础理论。 也可将“左右”做恒等变形(如乘除移项,两边取ln等)再做 (此思想类似题见 《微积分辅导》P243) 故可证 或证 证： 二、用微分基础理论,造辅助函数H(x)求解的题型. 2、证 令H(x) ,接着背0点定理.或令H(x)= 接着背罗尔定理. 也可将“左=右”做恒等变形再做(下同) 下面着重介绍上述“变形”的一个方法：分离变量法以及相应的 去“ln”用的 分离变量法:把 f ’(x),f (x)放在等号的一边[ f ’(x)放在分子上];x放 在等号的另一边 [例7=P186-4(2)书错,缺f(1)=0] 证:令 (下面背罗尔定理)因为H(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,H(0)=H(1)=0 证 令H(x) ,接着背0点定理.或令H(x)= 接着背罗尔定理. 也可将“左=右”做恒等变形再做(下同) 下面着重介绍上述“变形”的一个方法：分离变量法以及相应的 去“ln”用的 分离变量法:把 f ’(x),f (x)放在等号的一边[ f ’(x)放在分子上];x放 在等号的另一边 (例8=期中卷十一题) 证:令 (下面直接背罗尔定理不行,因为H(b)=0,而H(a)=?应想 要用f (a) = f (b) 所证 例9:已知 ,求x0时, f 的单调 区间,值域,值域对应的不等式. 微积分基础理论“利用f导数的正负确定f 的增减,可得f 的草图,故可知 f 的极值,最值,值域,不等式.” 解: 0? 0? 0 所以f 的单减区间为 故值域为 其中 值域结果为 对应的不等式为 (提出恒正因子是解这类难题的关键) 三、极限计算. (见P135图3-6) 步1,代值定型 如为定式则结束,否则转步2 步2,变形为 或 (见P137圈3,P134的6行). 步3,洛必达法则,转步1. 其