函数综合问题教案.docVIP

泰州二中高中数学二轮复习讲义 10. 综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想 解决函数综合问题（教案） 一.重难点归纳 在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用 综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能 因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件 学法指导 怎样学好函数 学习函数要重点解决好四个问题 准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识 (一)准确、深刻理解函数的有关概念 概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终 数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数 近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线 (二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系 函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容 在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式 所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑 高考试题涉及5个方面 (1)原始意义上的函数问题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为特殊的函数成为高考热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中 (三)把握数形结合的特征和方法 函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换 (四)认识函数思想的实质，强化应用意识 函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决 纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识 二．课前预习： 1 函数y=x+a与y=logax的图象可能是( ) 2 定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设ab0,给出下列不等式 ①f(b)－f(－a)g(a)－g(－b) 　　②f(b)－f(－a)g(a)－g(－b) ③f(a)－f(－b)g(b)－g(－a) 　　④f(a)－f(－b)g(b)－g(－a) 其中成立的是( ) A ①与④ B ②与③ C ①与③ D ②与④ 3 若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根，则实数a的取值范围是____ 4 设a为实数，函数f(x)=x2+|x－a|+1,x∈R (1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值 5 设f(x)= (1)证明 f(x)在其定义域上的单调性； (2)证明 方程f-1(x)=0有惟一解； (3)解不等式f［x(x－)］ 1 解析 分类讨论当a1时和当0＜a＜1时 答案 C 2 解析 用特值法，根据题意，可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设a=2,b=1, 则f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)－f(b)=f(2)－f(－1)=2+1=3 g(b)－g(－a)=g(1)－g(－2)=1－2=－1 ∴f(a)－f(－b)g(1)－g(－2)=1－2=－1 又f(b)－f(－a)=f(1)－f(－2)=1+2=3 g(a)－g(－b)=g(2)－g(1)=2－1=1,∴f(b)－f(－a)=g(a)－g(－b) 即①与③成立 答案 C 3 解析 设2x=t0，则原方程可变为t2+at+a+1=0 ① 方程①有两个正实根，则解得 a∈(－1,2－2 答案 (－1，2－2 4 解 (1)当a=0时，函数f(－x)=(－x)2+|－x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数；当a≠0时，f(a)=a2+1,f(－a)=a2+2|a|+1,f(－a)≠f(a),f(－a)≠－f(a) 此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (2)①当x≤a时，函数f(x)=x2－x+a+1=(x－)2+a+,若a≤,则函数f(x)在(－∞,a上单调递减，从而，函数f(x)在(－∞,a上的最小值为f(a)=a2+1 若