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贵州大学2007-2008学年第二学期考试试卷（标准答案） A 信息安全数学基础 注意事项： 1. 请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。 2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。 3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。 4. 满分100分，考试时间为120分钟。 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 统分人 得 分 得 分 评分人 设a,b是任意两个不全为零的整数，证明：若m是任一整数，则 [am,bm]=[a,b]m.(共10分) 解： 得 分 评分人 二、设n=pq,其中p,q是素数.证明：如果则（共10分） 证明：由　　 又，则　 同理，　　 　　　　由于，所以如果，则，反之亦然.　 由得　　 由得　　　 得 分 评分人 三、求出下列一次同余数的所有解.(共10分) 解：(1)求同余式的解，运用广义欧几里得除法得： 　　　（5分） 　　　　（2）求同余式的一个特解： 　　　　　　　　　　　（4分） 　　　　（3）写出同余式的全部解： 　　　　　　　　　（1分） 得 分 评分人 四、求解同余式组：(共15分) 　　　 解：令m=5.6.7.11=2310 分别求解同余式　 得到： 故同余式的解为： 得 分 评分人 五、求满足方程的所有点. (共10分) 解:对x=0,1,2,3,4,5,6,分别求出y. 得 分 评分人 六、判断同余式是否有解.（共15分） 解:因为227是素数， 　　　　　又 又 　因此， 　　　　同余式无解. (3分) 得 分 评分人 七、设是整数，a是与m互素的整数，假如，那么 .（共10分）得： 由知，t是同余式成立的最小正整数， 故，. (5分) . 得 分 评分人 八、证明整数环是主理想环. （共10分）时，有.(2分) 因此，I中有正整数存在.　 (1分) 设d是I中的最小正整数，则　(1分) 　事实上，对任意，存在整数q,r使得　(1分)　 　　　　　　　　(1分) 　这样，由及，得到.　(1分)　 但以及d是I中的最小正整数.因此，r=0，.(1分) 从而，(1分) 　又显然.故，故Z是主理想. (1分) 得 分 评分人 九、设是素数，则是整数环的素理想. （共10分） (3分) 于是　(3分) 因此得到，.　(3分) 因此，是整数环的素理想. (1分)