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第二章 拓扑空间 课程内容： §2.1 拓扑空间 §2.2 邻域系、拓扑基、邻域基 §2.3 序拓扑 §2.4 度量拓扑 §2.5 闭集、极限点、闭包 §2.6 内部、边界 §2.7 拓扑空间中的序列 本章包含了拓扑空间的基本概念，是拓扑学的基本理论，本章内容将贯穿拓扑学的整个学习过程。因此，对本章内容的熟练掌握是学好拓扑学的基础。 在§2.1拓扑空间中，我们给出了拓扑、拓扑空间、开集的定义。 定义2.1.1 设是一个集合，，若满足以下条件 （1） （2）若，则； （3）若，则。 则称是的一个拓扑，是一个相对于而言的拓扑空间，中的元素称为开集。 对这个定义，我们应从以下几方面理解。 1．的拓扑是满足条件（1）、（2）、（3）的的子集族，当给定以后，满足条件（1）、（2）、（3）的拓扑是不唯一的，例如在本节中我们于同一集合上可构造平庸拓扑，高散拓扑，可数补拓扑，有限补拓扑等等。 2．开集是拓扑空间中的最基本概念之一，我们以后定义的其它概念均与开集有关，一个集合的子集是否是开集依赖于给定的的拓扑的结构。例如，实数集合中的开区间 是实数集合的一个子集，这是将实数集作为有序集看待的，开区间是有序集合中的一个基本概念，而开集是相对于拓扑空间的拓扑而言的，因此，开区间和开集是完全不相同的概念，开区间在实数集合的平庸拓扑空间中不是开集，在数学分析中我们说开区间是实数集合R中的开集是因为我们已约定实数集合是一个通常度量空间（度量空间是拓扑空间见§2.4）。而实数集合的通常度量空间和实数集合的通常序拓扑空间（见§2.3）是一致的，在这个序拓扑空间中，开区间是基本开集。 在§2.2拓扑基、邻域系、邻域基中，我们只补充一个引理。 引理：设是集族，是集合。若，s.t. ，则 ，使得 证明：因为对任意s.t. ， 则必有 因此必有 令显然有，且 这个引理在本节的几个定理证明和习题证明中均用到。 对于定理2.2.2和定理2.2.3我们以具体例子说明如下： 由邻域系的定义可知：对一个拓扑空间，我们可以建立映射，其中就是的领域系。 例： 则 ， 定理2.2.2 说明了邻域系满足以下四个性质 （1）且 （2），则 （3）若，则 （4）若则满足：（i）（ii） 定理2.2.3 说明由满足定理2.2.2中（1）—（4）的一个映射：也可以决定的一个拓扑使得在拓扑空间中，是在中的邻域系，而且 例定义为 容易证明满足定理2.2.2中（1）—（4）。因此，是的唯—拓扑使得在中为的邻域系。， 但 邻域基与拓扑的关系与邻域系同拓扑的关系相同。 在一个拓扑空间中，邻域基，因此，一般来说，邻域基的成员比邻域系的成员要少得多，但在描述闭包点、聚点、序列收敛性等方面两者是等价的。 决定集合的一个拓扑的另一个重要方法就是由拓扑基生成拓扑。 定理2.2.7 设是一个集合，，若满足 （1） （2），则使得 则 s.t. 是的唯一拓扑使得在拓扑空间中正是拓扑的一个基。 我们称是由生成的拓扑。 例：满足定理2.2.7中（1）—（2）。 因此可生成的一个拓扑使得是的一个拓扑基，并且 使得 由拓扑基（满足拓扑基性质的集族）生成拓扑的方法我们在以后将多次用到，特别是用这种方法我们将给出实数集合上的下限拓扑空间（例2.2.9）。实数集合上的-拓扑空间（例2.2.10），由度量空间诱导的拓扑空间（见§2.4度量拓扑）以及两个拓扑空间的乘积拓扑空间（见§4.1乘积拓扑空间）等等。 另外，在许多方面，有关拓扑的性质可用拓扑基等价刻画，如连续映射、紧致性、聚点等等。 在§2.3序拓扑中，我们在有序集合上建立了序拓扑空间，给出序拓扑空间是说明在序拓扑空间中，开区间是开集，或者说我们道常所说（比如在实直线上）开区间是开集是指在有序集合的序拓扑空间中开区间是开集，而在有序集合的其它拓扑空间中（例如平庸拓扑空间中）开区间不必是开集，二是在§4.2子空间中我们应用序拓扑空间与其子空间的关系来说明用不同自然的方法得到子空间拓扑的多样性。 在§2.4度量拓扑中，我们介绍了集合上度量及度量空间的概念。对度量空间的研究是拓扑学诞生的一个重要基础，因此对度量空间的学习有助于对拓扑空间中相关概念的理解，有助于对拓扑学发展史的了解，同时也给出了拓扑学的一个应用基础。通过本节学习应掌握以下几个方面： （1）度量空间是一类特殊的拓扑空间，度量空间即是拓扑学发展的基础，也是拓扑学应用的基础。 （2）存在不可度量的拓扑空间。如有限集合上的非离散拓扑空间是不可度量的。 （3）实数集合（作为通常有序集合）上的序拓扑和实数集合（作为通常度量空间）上的度量拓扑的一致性。 （4）n维欧几里德空间R。 （5）希尔伯持空间H的定义，在§6.7可度量化空间中证明Urysohn嵌入引理中将应用这个空间。 在§2.5闭集、闭包、极限点