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嘉应学院 本科毕业论文（设计） （2014届） 题 目： 一个积分不等式的多种证明 姓 名： 温桂霞 学 号： 101010049 学 院： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 指导老师： 朱香玲 申请学位： 学士学位 嘉应学院教务处制 摘 要 积分不等式是微积分学中的一类重要不等式，在数学分析中有着广泛的应用.积分不等式的证明方法灵活多样，技巧性和综合性较强.本文主要研究如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的证明（其中：函数在上连续且单调增加）字典 关键词 Abstract Integral inequality is an important kind of calculus inequality, in the mathematical analysis in a wide range of applications. Integral inequality proof method agile diversity, skill and more integrated. This paper studies how to use the calculus knowledge to solve some complex integral inequality proof, discusses the use of monotonicity, Lagrange mean value theorem,, double integral knowledge to license integral inequality where is continuous and increase on . Key words：integral inequality, mean value therm of integrals;,the method of definite integral is defined,definite integrations by substitution 自高斯（C.F.Gauss））在上连续且单调增加，证明 1.利用单调性来证明积分不等式 ［］在区间I上可导，则在I上递增(递减)的充要条件是。 ［］在内递增(递减)且,则 。 证明：令，则 当时， 因为在上单调增加，所以当时， 因此，即单调增加，从而 即 证毕。 2. 利用积分中值定理来证明积分不等式 ［］在上连续，在上可积且不变号，则存在，使得 特别地，当时，存在，使得 分析：对于命题中的不等式，只须证明表达式是一个非负数即可。这里不妨设，显然且为区间的中点，当时，；当时，，于是，可以分段使用积分第一中值定理。 证明：设，显然是区间上的中点，再设。 函数在区间上递增连续，根据积分第一中值定理得： 在中存在一点，使，这里； 在中存在一点，使，这里； 且，. 故 证毕。 3. 利用积分第二中值定理证明命题 ［］在上单调递增且非负，在上可积，则存在，使得 （2）设在上单调递增且非负，在上可积，则存在，使得 证明：设函数，且取。显然在区间上，函数是单调递减且非负的；在区间上，函数式单调递增且非负的。由积分第二中值定理知，，使得 （1） ，使得 （2） （2）-（1）得 （3） 又取使，，且，由定积分的几何意义知 ， 因此，（3）式有 证毕。 4. 利用积分第二中值定理的推论证明命题 [2-3]（积分第二中值定理得推论） 设在上单调递增且非负，在上可积，则存在，使得 分析：有上述分析，这里仍假设函数，显然函数在区间上可积，又函数在区间上递增连续，因此利用积分第二中值定理的推论即可得证。 证明：假设函数，显然函数在区间上可积，又函数在区间上递增连续，根据积分第二中值定理的推论，，使得