中考复习专题二次函数的综合问题.doc

中考复习专题二次函数的综合问题 一、动点问题 （一）、因动点产生的面积关系 例1、在平面直角坐标系中，△BCD的边长为3cm的等边三角形, 动点P、Q同时从点A、O两点出发，分别沿AO、OB方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s, 当点P到达点O时,P、Q两点停止运动. 设点P的运动时间为t(s), 解答下列问题: (1) 求OA所在直线的解析式; (2) 当t为何值时, △POQ是直角三角形; (3) 是否存在某一时刻t，使四边形APQB的面积是△AOB面积的三分之二? 若存在, 求出相应的t值; 若不存在，请说明理由． 解：⑴ 根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm． △ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°， ∴BP＝(3－t ) cm． △PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t， 若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°． 当∠BQP＝90°时，BQ＝BP． 即t＝(3－t )， t＝1 (秒)． 当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ． 3－t＝t， t＝2 (秒)． 答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形． …………………4′ ⑵ 过P作PM⊥BC于M ．Rt△BPM中，sin∠B＝， ∴PM＝PB·sin∠B＝(3－t )． ∴S△PBQ＝BQ·PM＝· t ·(3－t )． ∴y＝S△ABC－S△PBQ ＝×32×－· t ·(3－t ) ＝． ∴y与t的关系式为： y＝． …………………6′ 假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的， 则S四边形APQC＝S△ABC ． ∴＝××32×． ∴t 2－3 t＋3＝0． ∵(－3) 2－4×1×3＜0， ∴方程无解． ∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．……8′ 例2、 如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动(不与B，C重合)，连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．记CD的长为t． (1) 当t＝时，求直线DE的函数表达式； (2) 如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由； 解：(1)易知△CDO∽△BED， 所以，即，得BE=，则点E 的坐标为E(1，)．……………………………(2分) 设直线DE的一次函数表达式为y=kx+b，直线经过两点D(，1)和E(1，)，代入y=kx+b得，，故所求直线DE的函数表达式为y=．…………………………(2分) 　　　　(注：用其它三角形相似的方法求函数表达式，参照上述解法给分) (2) 存在S的最大值．………………………………………………1分 求最大值：易知△COD∽△BDE，所以，即，BE=t－t2，……1分 ×1×(1＋t－t2)．………………………1分 故当t=时，S有最大值．……………………………2分 （二）因动直线产生的面积关系 例3．如图所示，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，－5）和（－2，4）． （1）求这条抛物线的解析式． （2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于x轴的直线x=m（0m+1）与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）． （3）在条件（2）的情况下，连接OM，BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意得 解得 ∴此抛物线解析式为y=x2－2x－4． （2）由题意得： 解得 ∴点B的坐标为（4，4） 将x=m代入y=x得y=m，∴点N的坐标为（m，m）． 同理，点M的坐标为（m，m2－2m－4），点P的坐标为（m，0）． ∴PN=│m│，MP=│m2－2m－4│， ∵0m+1， ∴MN=PN+MP=－m2+3m+4． （3）作BC⊥MN于点C， 则BC=4－m，OP=m． S=MN·OP+MN·BC， =2（－m2+3m+4）， =－2（m－）2+． ∵－20， ∴当m－=0，即m=时，S有最大值． 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线L从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动，设直线L与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方）． （1）求A，B两点的坐标； （2）设△OMN的面积为S，直线L的运动时间为ts（0≤t≤6），试求S与t的函数表达式； （3