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“我为高考设计题目” (1)题目：如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2米，边坡的倾角为、长度为x米，. （Ⅰ）若倾角且灌溉渠的横截面面积大于5平方米，求x的最小正整数值。 （Ⅱ）若边坡的长度为2米，则倾角为何值时，灌溉渠的横截面面积最大？ （2）解答：由已知灌溉渠的横截面的高为，上底长为 ∴灌溉渠的横截面面积 （Ⅰ）时，，令，则在上为增函数，且， ∴灌溉渠的横截面面积大于5平方米时，x的最小正整数值为3。 （Ⅱ）由已知得， ∴ 当时，；当时，； 又， ∴当时，灌溉渠的横截面面积最大，最大值为。 （3）考查目标：本题考查函数的单调性，导数的应用，以及数学建模能力。考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力。 （4）设计思路： 本题是为我校高三年模拟考试而编制的一道试题，改编自人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书必修一B版P36练习B第2题，试题设计了两个变量，研究相关变量的变化与目标函数取值的变化关系，较好在考查学生分析问题、解决问题的能力。试题不偏不怪、平和清新，较切合当今教学实际。 （5）难度估计：0.60 （6）命题人：陈荣桂（福建惠安第一中学 362100） 作者：陈荣桂；地址：福建惠安第一中学（362100）； 邮箱：crg123crg@163.com （该文发表于《数学通讯》2008年23期）
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