梁保松《线性代数》习题三解答(本人亲自求解)习题三.pdfVIP

第三章 线性方程组 习题三 1.判断下列命题是否正确并说明理由. （1）用高斯消元法解线性方程组时，对增广矩阵的初等变换，仅限于行及交换 两列的变换； 解 正确。 （2）无论对于齐次还是非齐次的线性方程组，只要系数矩阵的秩等于未知量的 个数，则方程组就有唯一解；  解 不正确。缺少条件r(A ) r(A ) ，否则非齐次的线性方程组可能无解。 （3）n 个方程n 个未知量的线性方程组有唯一解的充要条件是方程组的系数矩 阵满秩；  解 正确。系数矩阵满秩 r(A ) r(A ) n 线性方程组有唯一解 （4）非齐次线性方程组有唯一解时，方程的个数必等于未知量的个数；  解 不正确。非齐次线性方程组有唯一解时，r(A ) r(A ) 未知量的个数，而方 程的个数未必等于未知量的个数，例如 2x  x 3x 3, 2 1 3 3  1 0 0 1 1 2 3      x1 1, 3x  x 5x 0, 3 1 5 0 0 1 0 2  1 2 3      ， x 2,  4x  x  x 3, 4 1 1 3  0 0 1 1   2  1 2 3     x3 1. x 3x 13x 6, 1 3 13 6 0 0 0 0  1 2 3     （5）若齐次线性方程组系数矩阵的列数大于行数，则该方程组有非零解； 解 正确。设A X = o , n m, r A m n 方程组有非零解 mn n1   ， （6）三个方程四个未知量的线性方程组有无穷多解； 解 不正确。对于齐次线性方程组正确，见（5）. 对于非齐次线性方程组不正确，  缺少条件r(A ) r(A ) ，非齐次的线性方程组可能无解。 （7）两个同解的线性方程组的系数矩阵有相同的秩； 第三章 线性方程组 解 正确，设AX = b , CX = d 同解 （无解除外），即两个线性方程组的增广矩阵 经行初等变换后得到的最简形矩阵完全相同 （除零行个数可能不同外。这是因为两个 方程组的方程个数可能不同，但未知量个数必相同），故最简形中系数矩阵、增广矩 阵均相同的秩，即两个方程组的系数矩阵A ,C 及其增广矩阵都有相同的秩。 （8）两个皆为三个方程四个未知量的方程组，若它们的系数矩阵有相同的秩， 则两个方程组同解. 解 不正确。它们的系数矩阵有相同的秩，对于非齐次线性方程组来说，增广矩 阵的秩未必相同。若增广矩阵的秩不相同，则至少有一个非齐次线性方程组无解。 即使系数矩阵、增广矩阵的秩相同，但最简形未必相同，此时也不同解。 3.讨论p 取何值时，下述非齐次线性方程组无解，有唯一解，有无