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两个频率比为整数比的正弦信号正交叠加 背景阐述 两互相垂直的，频率成一定整数比例关系的简谐振动合成，合振动为有一定规则的稳定的闭合曲线，称李萨如曲线。对其变幻的图形我们兴趣颇深，然而，它的结论比较抽象，不易理解掌握。垂直方向振动合成的教学一直是教学的难点，难就难在对合运动的轨迹缺乏真实、直观的认识。在过去计算机技术不发达时候，李萨如图形演示通常用示波器来突现。在缺少示波器的情况下就很难进行该图形的演示，要不就是在课堂上很难演示，因为示波器工作机制的限制，各个分运动的初相位不太容易控制。然而，随着计算机的普及，使得我们可以用软件来模拟李萨如图形。在众多带图形用户界面的编程语言中，在此我利用MATLAB语言来进行绘图。 建立数学模型 相互垂直的简谐振动的合成，假设两个简谐振动分别在x轴和y轴上进行，则他们的振动方程分别为?： 其中，当为整数时，其简谐振动合成为李萨茹曲线。ω是用来获取外界输入的初始相差的值，ω=ω2-ω1。公式中的A1和A2，只关系到绘制出的图形的最高最低点和最左最右点的位置，对图形的实质没有影响，所以将其简化为1∶1。因此可以得到如下方程： matlab程序建立 通过以上制作的程序的理论基础，下面就可以通过matlab编写程序了。设，每个窗口显示16个合振动轨迹图形，依次表示初相位每次增加π／16时的图形，频率比从1开始到1O，步长选为1，依照以上的数学模型可以编写以下程序： n=1; %n表示信号x与信号Y的频率比值 while n=10, figure( name , 两个频率比为整数比的正弦信号正交叠加); %设定图像显示窗口 phy=0; fignum=1;%频比一定时，相位差若干pi／16时的窗口编号； while phy=pi, f1=1; f2=n*f1; t=linspace(0,1,1000); x=sin(2*pi*f1*t); y=sin(2*pi*f2*t+phy); % phy是相位差 grid on; %为所绘制的图形添加坐标网格（虚线） subplot(4,4,fignum);plot(x,y); phy=phy+pi/16; %相位差每次增加π/16 fignum =fignum +1; end; pause(1); n= n+ 1; end; pause(1); n= n+ 1; end; 运行结果及结果分析 经过以上程序运行出来就能得到两互相垂直的，频率成一定整数比例关系的简谐振动合成图形。总共有十个图形，频率比从1到10，为了节省图形占用空间，以下截图都被缩小： 通过图形我们可以看到：（1）频比为1时的广义李萨如图形相当于一个圆从不同视角(视角等于初位相)的观察结果的蜕变。（2）频比为2时的广义李萨如图形相当于把频比为1时的广义李萨如图形扭曲一次而得到“8”字形的变形。(3)当频比为n时的广义李萨如图形相当于把频比为1时的广义李萨如图形扭曲n一1次而得到。（4）如果做一个限制光点x、y方向变化范围的假想方框，则图形与此框相切时，横边上切点数nx与竖边上的切点数ny之比恰好等于Y和X输入的两正弦信号的频率之比，即fy∶fx = nx∶ny。但若出现有端点与假想边框相接时，应把一个端点计为1/2个切点。 结论 通过以上对运行结果的观察分析，从中可总结出如下规律： 广义李萨如图形的扭曲次数等于频比减1。 （2）横边上切点数nx与竖边上的切点数ny之比恰好等于Y和X输入的两正弦信号的频率之比，即fy∶fx = nx∶ny。所以利用李萨如图形能方便地比较两正弦信号的频率。若已知其中一个信号的频率，数出图上的切点数nx和ny，便可算同另一待测信号的频率。 (3)广义李萨如图形一般不封闭。 六、课程学习感想 通过这学期的Matlab课程的学习，对Matlab的一些知识点有了比较清晰的认识，比如：矩阵操作，符号操作，画图基础，程序设计等。Matlab是一门面向对象的语言。提供图形用户界面的应用程序能够使用的学习和使用更为方便容易。用户不需要知道应用程序究竟是怎样执行各种命令的，而只需要了解可见界面组件的使用方法；用户也不需要知道命令是怎样执行的，只要通过与界面交互就可以是指定的行为得以正确执行，这比用在DOS环境下运行的程序交互性友好。这次的课程报告使我对Matlab有了更深刻的认识，尤其是编程方面，掌握了一点编程思维，这对我们以后再学习其它语言是有很大的益处的，掌握一种编程思维方式比多学几门语言都有用。 七、参考文献 《MATLAB程序设计与应用》刘卫国主编 《基于MATLAB的李萨如图形演示及其应用》 黄光 /question/4763378.html 两个频率比为整数比的正弦信号正交叠加 2 频率比1：2 频率