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mathExp04 角度也有正与负 【任务目标】 技术方面 熟悉点绕点的放缩旋转点命令；作圆内接正多边形。 数学方面 旋转方向与角的正负；角的始边与终边；角的正负与时针运动方向的关系；顺时针名称的由来。 【实验过程】 0，旋转射线得角度 我们知道，由一个点以及从这一点出发的两条射线，就组成了一个角。同时，我们也可以把角看作是一条射线沿着它的端点旋转而得到的图形。如下图所示，将OA绕点O旋转到OA’的位置，就形成了∠AOA’。 图1 图2 在表示角的时候，一般由一个角的符号∠和三个点的名字对应的字母组成。其中第二个字母表示角的顶点，另外两个字母表示两条边上的点。现在我们角看作是旋转图形，那么也可以约定表示角的三个字母所表示的意义：第一个字母表示角的始边上的点，第二个字母表示角的顶点，第三个字母表示角的终边上的点。始边，即原始位置的射线；顶点，即射线的端点，也是旋转中心；终边，将始边绕端点旋转而得到射线。因此这里要表示成为∠AOA’，而不能表示成为∠A’OA，否则就是OA由OA’旋转而得到的。 例如，对于这里水平向右无限延长的射线OA来说，向上旋转和向下旋转都能形成一个角。但是向上旋转和向上旋转，虽然都是形成了角度，但是旋转的方向却是相反的。 前面我们利用数的正负表示了相反的两个直线方向，类似地我们也可以利用数的正负表示相反的两个旋转方向。例如，对于一条水平向右无限延伸的射线来说，我们不妨规定绕它的端点向上旋转得到的角度为正角，而向下旋转得到的角度为负角。如下图所示，下面给出了角的大小，由于射线OA’是由OA向上旋转得到的，所以在图3当中∠AOA’=18°，而在图4当中∠AOA’ = -18°。 图3 图4 这与数学上的对角的规定不谋而合：按照逆时针旋转得到的角为正角，按照顺时针旋转而得到的角为负角。顺时针，就是钟表当中指针转动的方向；逆时针，就是与钟表当中指针相反的转动方向。 如图5所示，那么，∠AOA’是多少呢？ 图5 图6 如图6所示，因为它既可以是OA绕点A向下旋转而得到-145°的角，也可以是向上旋转，超过180°后继续旋转，而得到215°的角。 看来，单从图5来看，简单地利用“向上”或“向下”，并不能准确地描述，旋转的过程和结果。看来，还是利用钟表当中指针的转动方向为参照，即顺时针和逆时针，来表示旋转的方向更为准确和恰当。 1，顺时名称的由来 现在我们明白，所谓顺时针方向，指的是与钟表当中指针的转动方向相同；而逆时针方向，指的是与钟表当中指针的转动方向相反。 那么顺时针的名称是如何来的呢？它源于，古代用一种叫做日晷的计时仪器。 图7 日晷指的是中国古代利用时刻的一种计时仪器，又称日规。其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻，通常由晷针和晷面组成。在北半球，早晨的影子在西方，中午的影子在北方，傍晚的影子在东方。从原理上来说，根据影子的长度或方向都可以计时，但根据影子的方向来计时更方便一些。故通常都是以影子的方位计时。随着时间的推移，晷针上的影子慢慢地由西向东移动。移动着的晷针影子好像是现代钟表的指针，晷面则是钟表的表面，以此来显示时刻。 图9 图10 在左边的对象工作区中，单击“[4]对象组：坐标系”前的加号，展开对象组列表，如图11所示，然后单击“[0]直角坐标系O-xy”前的方框，即可在作图工作区隐藏第0号对象直角坐标系O-xy，类似地隐藏第2号对象“直线：x轴”和第3号对象“直线：y轴”，结果如图12所示。 图11 图12 按住Ctrl键，按照顺序先后选择点A和点O，单击鼠标右键，如图13所示在弹出的右键菜单中单击【点绕点的旋转放缩点】命令。 图13 如图14所示，在弹出的对话框中输入放缩比例为0.8，旋转角为：t，单击【确定】按钮，即可做出秒针对应的线段OB以及它的端点B，如图15所示。 图14 图15 这表明∠AOB = t，即OB是OA以点O为中心旋转t度而得到的。上面对话框中的放缩比例0.8表明线段OB的长度是线段OA的长度的0.8倍，这是因为秒表要在表盘内部，需要比半径OA短。 这里t又是多少呢？我们说字母可以代替数，它表示的是一个数，只不过是一个可以随时改变的数。正是因为它可以随时被改变，所以才可以实现OB从OA的位置开始旋转一周的动态过程。现在我们就创