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五 小结与判断题 * 一 无穷小量 二 无穷大量 三 无穷小量与无穷大量的关系 四 无穷小的运算法则　　 五 小结与判断题 第四节 无穷小量与无穷大量 一 无穷小量 Infinitely Small Quantity 1 定义 极限为0的变量叫无穷小量。 说明： 注1 不要认为无穷小量是一个很小很小的数； 注2 无穷小量是个变量； 注3 一个函数是无穷小量，必须指明自变量的变化趋势； 注4 0 是唯一可称为无穷小量的数。 例如： 例1 用定义证明 2 无穷小量和极限的关系 证明 1）不妨设 令 （?为无穷小量） 则?当 为无穷小量，也有 A+? 即有 例如： 有 其中 所以， 以A为极限。 2）若 A+?，则? -A, ?为无穷小量,由于?为无穷小量，故对 思考题： 是“当 时， 是无穷小”的 A 充分但非必要条件； B 必要但非充分条件； C 既非充分也非必要条件； D 充分必要条件 二 无穷大量 无限增大，趋向于无穷大，称 是一个无穷大量。 X 0 Y 简单地说，绝对值无限增大的变量叫无穷大量. Infinitely Large Quantity 精确地讲： 当 时，有 故 故 注4 无穷大量是一个变量，绝对值无限增大的变量； 注5 函数是无穷大量，必须指明其变化趋势。 比如 例2证明 证： 要使 只须 取 所以， 注：无穷大量一定是无界量；但是无界量不一定是无穷大量。 例３：证明函数 在 是无界的，但 时，不是无穷大量。 证明：取 不是无穷大. 说明：证明函数的极限不存在时，只须找一串点 , 使 的极限不存在。 下面证明 且 取 所以， 上是无界的。 在 上是无界的。 在 三 无穷小量与无穷大量的关系 注?（倒数关系） 则 则 注 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 四 无穷小的运算法则　　 定理１　有限个无穷小的和仍是无穷小。 证： 故 注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小。 例４： 定理２ 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。 证明：g x 有界，故存在M ０，使 对于 当 故当 设g x 在某定义域内有界， 　推论 （１）常量与无穷小的积仍是无穷小； （２）有限个无穷小量的积仍是无穷小。 例５　 内容: 无穷小量和无穷大量，及其倒数关系 判断题 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. （1） 无穷小是变量，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）是无穷小. （3） 无界变量是无穷大. * *