4.3 一阶线性微分方程.pptVIP

* 第一节 函数及其图形 4.3 一阶线性微分方程 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训 一、案例 [溶液的混合] 一容器内盛有50L的盐水溶液，其中含有10g的盐．现将每升含盐2g的溶液以每分钟5L的速度注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以3L/min的速度流出溶液，问任一时刻容器中含盐量是多少？ 解 设t时刻容器中含盐量为x g，容器中含盐量的变化率为 盐流入容器的速度－盐流出容器的速度 （1） 盐流入容器的速度=2（g/L）×5（L/min） =10(g/min) = (g/min) 盐流出容器的速度= （g/L）×3 （L/min） 即 此一阶线性微分方程的特点是：未知函数及其导数都是一次的． 由题意知初始条件为 ． 由式（1）得 (1) 线性 线性 的微分方程称为一阶线性微分方程．当Q(x)恒等于零时,方程(1)称为齐次微分方程；当Q(x)不恒为零时，方程(1))非齐次微分方程． 二、概念及公式的引出 一阶线性微分方程 形如 （一）一阶线性齐次微分方程的解法 在方程(1)中，若 ，则 （2） 是可分离变量微分方程，分离变量，得 即　 这是齐次微分方程（2）的通解． 两边积分，得 研究 （二）一阶线性非齐次微分方程的解法 一阶线性非齐次微分方程 (1)的解可用“常数变易法”求得．这种方法是将(1)的通解中的任意常数C，换为x的函数C(x)，即令 两边求导，得 将y、 的表达式代入方程(1)，得 两边积分，得 将此式代入 ，便得非齐次线性微分方 (*) 方程 (1)的通解为 将通解公式(*)改写成两项之和为 齐次方程 的通解 非齐次方 程的特解 (3) 的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和． 式(3)右端第一项是对应的齐次方程(2)的通解， 第二项是非齐次线性方程(1)的一个特解． 由此可知一阶非齐次线性方程的通解等于对应 三、进一步的练习 练习1[案例的求解] 解 (1)求通解 应用常数变易法，这里，我们直接应用公式(3). 为求通解可以先求出对应齐次方程的通解，然后 （2）求特解 将初始条件 代入通解，得C=-22500 所以，在时刻t容器中的含盐量为 定律，知电流(单位：A)满足以下微分方程 练习2 [RL电路] 在一个包含有电阻R(单位： )，电感L(单位：H) 和电源E(单位：V)的RL串联回路中，由回路电流 若电路中电源 V,电阻10 ,电感0.5H和初始 解 （1）建立微分方程 这里 ,R=10,L=0.5,将其代入RL电路中电流 应满足的微分方程，得 初始条件为 ． 电流6A，求在任何时刻t电路中的电流． （2）求通解 此方程是一阶线性微分方程，应用公式(3)，得通解 （3）求特解 将t=0时,I=6代入通解，得 解之，得 所以，在任何时刻t的电流为 练习3 [RC回路] 在一个包含有电阻R(单位： ),电容C(单位：F)和电 源E(单位：V)的RC串联回路中,由回路电流定律,知电容上的电量q(单位：C)满足以下微分方程 电路中的电流． 解 （1）建立微分方程，我们先求电量q. 因为 代入RC回路中电量q应满足的微分方程，得 初始条件为 . 0.01F，电容上没有初始电量.求在任意时刻t 若回路中有电源 V,电阻100 ，电容 （2）求通解 此方程是一阶线性微分方程，应用公式(3)，得 将t=0,q=0代入上式，得