人大版_微积分_第四章_习题课.pptVIP

微 积 分 链接目录 参考书 第四章习题课 作图 *例13 Rolle 定理的推广形式 ① 证 由Rolle 定理知 ② 证一 则由题设知 故由①知 而 证二 若 则结论显然成立 下设 不妨设有 必存在最大值M 即 故由Fermat 定理知 ③ 证一 类似于②证一，作变换 证二 作变换 微积分 莫兴德 广西大学 数信学院 Email:moxingde@gxu.edu.cn 复习 第九章 微分方程 第八章 多元函数 第七章 无穷级数(不要求) 第六章 定积分 第五章 不定积分 第四章 中值定理,导数的应用 第三章 导数与微分 第二章 极限与连续 第一章 函数 [1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社 洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法. 导数的应用 一、主要内容 1、罗尔中值定理 2、拉格朗日中值定理 3、柯西中值定理 4、洛必达法则 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 . 注意：洛必达法则的使用条件. 5、泰勒中值定理 常用函数的麦克劳林公式 Fermat 定理 中值定理揭示了导数与函数之间的关系，是导数应用的理论基础，是利用导数研究函数性质的有效工具。是沟通导数的局部性质与函数在区间上的整体性质的重要桥梁。 6、导数的应用 (1) 函数单调性的判定法 (2) 函数的极值及其求法 极值必要条件、第一、第二充分条件 求极值的步骤: (3) 最大值、最小值问题 (4) 曲线的凹凸与拐点 (5) 函数图形的描绘 (6) 弧微分 曲率 曲率圆 例1 解 二、典型例题 这就验证了命题的正确性. *例2 Darboux定理: 证 首先假定 不妨设 如右图所示 o y x a b 由假设知 由 右方邻近，有 由 左侧邻近，有 由 Fermat 定理,得 其次，取介于 之间的任意数 C 为明确起见，不妨设 引进辅助函数 由上述已证知 例3 证明方程 在(0,1)内至少有一实根 [分析] 如令 则 的符号不易判别 不便使用介值定理 用 Rolle 定理来证 证 令 则 且 故由Rolle 定理知 即 在(0,1)内有一实根 例4 证 满足Rolle 定理的条件 *例5 解 例6 解 例7 例8 证 由介值定理, （1） （2） 注意到 由（1）, （2）有 （3） （4） （3）+ （4）,得 例9 问方程 有几个实根 解 同时也是最大值 分三种情况讨论 ① 由于 方程有两个实根，分别位于 ② 方程仅有一个实根，即 ③ 方程无实根 ① ② ③ *例10 证 （1） （2） （1）– （2）, 则有 *例11 解 若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数, 于是有 解此方程组得 故所求作抛物线的方程为 曲率圆的方程为 两曲线在点处的曲率圆的圆心为 例12 解 奇函数 列表如下: 极大值 拐点 极小值