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对式(7.2.22)求导并利用式(7.2.17)、式(7.2.18)和它们的共轭复式,便得到p的运动方程 式中 (7.2.25) (7.2.26) (7.2.27) (7.2. 29) (7.2.28) 分别为两能级的平均衰减常数和原子在能级a、b间的跃迁角频率。由式(7.2.25)至式 (7.2.28)可知,上、下能级a、b的有限寿命τa、τb,不只是使密度矩阵的对角元分别以速率1/τa、1/τb衰减,还会使密度矩阵的非对角元以速率(1/τa+1/τb)/2衰减。根据测不准关系 (7.2. 30) 可知,粒子在能级上的有限寿命τ对应于该能级的宽度ΔE.所以式(7.2.25)至式(7.2.28)也表明,如果能级a、b有一定宽度,则将引起密度矩阵的对角元与非对角元以一定的速率衰减。 有了方程组(7.2.25)~(7.2.28),可以不必由式(7.2.17)和式(7.2.18)求解随时间变化的态,再按式(7.2.21)求解感应电偶极矩,而可以直接通过对上述方程组求解Pab及Pba再求解感应电偶极矩。 7.3 密度矩阵 一、密度矩阵的引出 激光工作物质是由大量的原子所组成。当它处于外场中时,工作物质中的每一个原子便在外场的作用下极化,产生感应电偶极矩,而宏观电极化强度便是单位体积中这些原子的感应电偶极矩之和。对于大量原子的集合(系综),我们采用如下的方法来表述系综的宏观极化强度。 设所考虑的系综由N个原子组成,其单位体积内的原子数为n.忽略原子之间的相互作用(这些原子组成系综),并且与前述一样,假设原子只有两个能级a和b,原子的能量本征波函数为ua和ub. 由前节知,有外场时,原子的波函数可按其能量本征函数展开 由于原子之间彼此无关,可以各自处于很不一样的状态,因此一般说来,原子的波函数也彼此不同。设第K个原子的波函数为Фk(q,t)(简写为Фk,则 （7.3.1） 根据量子力学中求力学量平均值的方法,可得第K个原子的感应电偶极矩的平均值PK为 （7.3.2） 由于系综内有N个原子,所以电极化强度P为 （7.3.3） 将式(7.3.1)代人,把含时间的量提到积分号外,并利用式(7.2.20)得 （7.3.4） 令 （7.3.5） （7.3.6） 并利用式(7.2.24),则式(.3.4)变为 （7.3.7） 式中p ab和pba叫系综的密度矩阵元。这样在求解极化强度P时,就需求出密度矩阵元。 二、密度矩阵及其主要性质 从以上所述可见,当我们须要求解一个系综的某一力学量时,密度矩阵是一种方便的表述系综状态的形式。下面我们将给出密度矩阵的较完整的定义及其主要性质。这时我们不再假设原子只有两个能级,而认为原子有许多能级。设原子的本征波函数为 （7.3.8） 它们组成正交归一的完全函数集。于是 （7.3.9） 对于单个原子系统(它也称为纯态系综),某一力学量F的量子力学平均值可由该系统相应的算符求出 （7.3.10） 对于一个由大量原子组成的系综,一般来说,不同的原子在每一瞬间都可能处于很不-样的状态,因此不同原子的力学量的量子力学平均值是不一样的。这样的系综也称为混合态系综。对于这样的系综,显然不能(也不必要)求得其中每个原子的状态和力学量的量子力学平均值,但是能够确定系综状态的统计平均性质并求得力学量的系综统计平均值。 为此,对系综内大量原子的力学量的量子力学平均值再求一次系综平均,即 （7.3.11） 这种二次平均值或系综平均值就是一个系综的力学量F的宏观平均值。将式(7.3.10）代入式(7.3.11),并利用式(7.3.9)得 （7.3.12） 式中 （7.3.13） （7.3.14） 别称为第n行第m列的系综密度矩阵元和第m行第n列的算符P的矩阵元。 如果本征函数集(7.3.8)组成分立谱,则我们可以令m,n=1,2,…,而把这些系综的密度矩阵元和算符P的矩阵元排列成矩阵形式 （7.3.15） （7.3.16） 它们分别叫做系综的密度矩阵和算符古的矩阵。在式(7.3.13)中令m =n ,则有 ρ nm表示系综中一个任意的原子系统处于由un(q )所描述的态的平均几率。因此在密度矩阵(7.3.15)中,对角线上的矩阵元表示系综中一个任意的原子系统处于本征态的平均几率。 将式(7.3.15)和式(7.3.16)相乘,有 对上式求迹,有 （7.3.17） 由此可知,系综的力学量F的平均值可以通过矩阵运算求得。 密度矩阵有下列几个主要性质。 (1)密度矩阵之迹为1。这是因为 式中 表示系综的第一个原于处于所有的状态的几率之和，显然它等于1，同理 因此 (2)密度矩阵为厄密矩阵。因为 所以