概率论与数理统计课后习题答案4.doc

第四章 随机变量的数字特征 1. 甲、乙两台自动车床，生产同一种零件，生产1000件产品所出的次品数分别用(，(表示，经过一段时间的考察，知(，(的分布律如下： ( 0 1 2 3 ( 0 1 2 p 0.7 0.1 0.1 0.1 p 0.5 0.3 0.2 试比较两台车床的优劣。 解：因为E(=0(0.7+1(0.1+2(0.1+3(0.1=0.6; E(=0(0.5+1(0.3+2(0.2=0.7。故就平均来说，甲机床要优于乙机床。 2. 连续型随机变量(的概率密度为 又知E(=0.75，求k, a之值 。 解：首先由密度函数性质知；又 E(=0.75，即有 ；由上述两式可求得k=3, a=2。 3.已知随机变量(的分布律为 ( -1 0 2 3 p 1/8 1/4 3/8 1/4 求E(，E(3(-2)，E(2，E(1-()2 。 解：E(=(-1)((1/8)+0((1/4)+2((3/8)+3((1/4)=11/8; E(2=(-1)2((1/8)+02((1/4)+22((3/8)+32((1/4)=31/8; E(1-()2=(1-(-1))2((1/8)+(1-0)2((1/4)+(1-2)2((3/8)+(1-3)2((1/4)=17/8或者， E(1-()2=E(1-2(+(2)=1- (E2()+E(2=17/8。 4. 若(的概率密度为。求(1)E(，(2)E(2 。 解：(1)中因e-|x|为偶函数，x为奇函数，故xe-|x|为奇函数，且积分区间关于原点对称，该积分又绝对收敛，事实上 故 E(=0。 (2)。 5. 轮船横向摇摆的随机振幅(的概率密度为 求(1)确定系数A；(2)遇到大于其振幅均值的概率是多少？ 解：(1)由密度函数性质知, 即 (2) ， 。 6. 一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此二部件长度之和，这两个部件的长度(和(为两个相互独立的随机变量，其分布律如下表： ( 9 10 11 ( 6 7 p 0.3 0.5 0.2 p 0.4 0.6 试求E((+()，E((()。 解：因为 E(=9(0.3+10(0.5+11(0.2=9.9，E(=6(0.4+7(0.6=6.6，故 E((+()=E(+E(=9.9+6.6=16.5；又(和(为两个相互独立的，因此有E((()=E(·E(=9.9(6.6=65.34。 7. 已知((，()的联合概率密度为 试求E((2+(2)。 解：E((2+(2)=。 8. 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以(表示停车的次数，求E( (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车是相互独立的)。 解：引入随机变量 易知，，现在求E( 由题设，任一游客在第i站不下车的概率为9/10，因此，20位游客都不在第i站下车的概率为(9/10)20，在第i站下车的概率为1-(9/10)20。也就是 P{( i=0}=(9/10)20， P{( i=1}=1-(9/10)20()，因此， E( i=1-(9/10)20()。故E(=E(次) 9. 圆的直径用(度量，而(且在[a，b]上服从均匀分布，试求圆的周长和圆的面积的数学期望和方差。 解：由于(服从[a，b]上的均匀分布，因此(的分布密度为 而圆的周长L=((，圆的面积A=((2/4，故有 EL=E((()=(E(=， DL=D((()=(2D(=； EA=((2/4=， 又 =，因此 DA=EA2-(EA)2= =