2013年中国女子数学奥林匹克解答.pdfVIP

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2017-08-30 发布于河北
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2013 中国女子数学奥林匹克第一天 2013 年 8 月 12 日上午8:00 ~ 12:00 宁波浙江省镇海中学 1．设 A 是平面直角坐标系上三条直线x 1 ，y 0 和y t(2x −t) 围成的闭区域，其中0 t 1 ．证明：在区域A 内，以P (t, t 2 ) ，Q(1,0) 为其中两个顶点的三角形的面积 1 不超过． 4 解：易知这三条直线围成的闭区域是一个 y y =t(2x-t) 三角形的内部与边界，此三角形的三个顶点分 x=1 t 别为B ( ,0) ，Q(1,0) ，C(1,t(2 −t)) ． 2 C (1, t(2-t)) 在三角形BQC 内任取一点X ，则三角形 2 P (t, t ) PQX 的面积等于PQ 乘以X 到PQ 距离的一 x 半，故当X 到PQ 距离最大，即X 取到B 点或C y =0 O B (t/2, 0) Q (1, 0) 点时，三角形PQX 的面积最大. 三角形PQB 的面积为 1 t 2 1 2 1 1 2−t +t 2 1 t t t t t ； (1− ) (2 =− ) ≤ (2 − ) ≤ ( ) 2 2 4 4 4 2 4 三角形PQC 的面积为 1 1 1 2 1 2 1 2 t + −t + −t 3 t t t t t t (1 )(2 ) 2 (1 )(2 ) ( ) − − − − ≤ ． 2 4 4 3 4 1 因此在区域A 内，以P ,Q 为其中两个顶点的三角形的面积不超过，证毕．