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“不等式恒成立问题中的主元策略” 课堂设计与反思 慈溪市三山高级中学 任雪琼 摘要：不等式恒成立问题是近年来高考及其他各类考试中的热点和亮点问题，多以压轴题的形式出现。解决这类问题最难的地方，也是最关键的地方是主元（主变量）的恰当处理。高考复习阶段，有必要设计一 节专题课，对主元的选择问题进行仔细地剖析。从常见题型出发，由浅入深，层层递进，使学生能通过深入学习把握问题的本质，从而更好地解决这类问题。 关键字：微专题课；不等式；恒成立；主元；参数；构造函数；最值；多变量 恒成立问题一直是高中数学的重要内容。它是函数、方程、不等式、导数等内容交汇处的一个较为活跃的知识点。能考查学生的综合解题能力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面都起到积极作用，因而很受命题者的青睐，是近几年来高考及各类数学考试的热点问题。在高三第二轮复习的后半阶段，笔者设计了一节微专题课“不等式恒成立问题中的主元策略”，达到了比较理想的教学效果。现将本节课的教学设计与反思呈现如下。 1 过程设计 1.1初步感受高考真题或模拟题 实例1（2013宁波一模理第22题） 设函数． （Ⅰ）试讨论在上的单调性； （Ⅱ）求最小的实数，使得对任意的及任意实数， 恒成立． 实例2（2012浙江理第22题）已知，函数． （Ⅰ）证明：当时， （ⅰ）函数的最大值为； （ⅱ）； （Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围． 设计意图及说明：实例1是2013年宁波一模理科卷第22题，不少学生对第（Ⅱ）题中的恒成立问题有点思路，但具体求解时却困难重重，半途而废。实例2是2012年浙江理科卷第22题，其中第（Ⅰ）题中的第（ⅱ）小题，学生普遍反映不知从何下手，看了考试说明书上的参考答案中提供的方法后还是疑惑重重，不甚理解。通过这两个案例的展示，学生感受到了恒成立问题的重要性，同时告诉他们，本堂课学习之后，前面遇到的困难、疑惑就可以迎刃而解，这样一来，学生的学习热情被充分调动了起来。 1.2由作业题分析引入 引例（1） 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为_____。 设计意图及说明：针对学生的认知情况，若直接从实例中的高考题或模拟题开始讲，起点太高，学生不易接受，所以要先从常见题型开始，由浅入深，逐个突破难点。为了使引入部分能少花时间，以便突出本堂课重点，笔者选择了上节课刚讲过的，学生印象还比较深的一道作业题为引例，作了简要的提问与说明。这样，不但复习了恒成立问题的常见解法，还大大节省时间，避免了头重脚轻的感觉。 解法一：利用二次函数根的分布(略)。 解法二：变量分离(略)。 解法三：转化为求函数最值，只需. (1)当时， 成立；； (2)当时，,； (3)当时， ，解得又，此时无解。 综上：。 小结：解法一常用于二次函数；解法二通过变量分离，往往可避免求最值的讨论，但不能变量分离时，此方法失效；解法三是直接求函数最值，更具一般性，但要根据条件，灵活选定主元(主变量)构造函数，才能顺利求解。 引例（2） 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为_____。 设计意图及说明：引例（2）是对引例（1）进行了改编，两则区别是：引例（1）是已知主变元的范围，求解参变元的取值范围；引例（2）是已知参变元的范围，求解主变元的取值范围。通常，我们习惯把当作参数，当作自变量，但由于引例（2）中给出的条件是的范围，所以往往要反客为主，构造以为自变量的一次函数求解，这样就显得很容易了。 解析：以为主元， 令只需，等价于 小结：当问题中出现两个变量，其中一个变量范围已知，另一个变量范围为所求，这时习惯上已知谁的范围就视为谁的函数，即：谁有范围谁做“主”。 1.3逐步探究 变式1 已知函数，若对任意的，，恒有，求实数的取值范围 设计意图及说明：笔者在引例原有数据的基础上进行改编，目的是减少计算量，通过对比体会选主元的重要性。由于两个变量、都有范围，所以可先以为主元，也可先以为主元。此题可先转化为：对任意的，恒成立。 解法一：先以为主元， 由得：， 先求的最小值，由引例（1）解法三得: , 再求的最小值： 解法二：先以为主元， 由得：， 令，, 先求的最小值，, 再求的最小值：， 提问：以上两种解法，哪种更有优势呢？ 小结：(1)涉及两个变量的恒成立问题，转化为两次求函数最值；(2)适当选取主元，特别是构成一次函数时，往往容易解决。 试一试 若对所有的不等式恒成立，求实数的取值范围。 设计意图及说明：通过前面的讲解，学生对这类问题的解法有了初步的感受，但还需要动手实践过后，才会有更加深刻的理解与领悟。 解法一：先以为主元,较为复杂。 解法二：先以为主元, 比较一下，如何解决呢？ 若证明：当时，不等式恒成立。 设计意图及说明：学生对证明题的理解相对较弱，为了能更顺利地引入后面的内容，笔