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平稳随机过程及其数字特征 平稳随机过程及其数字特征 平稳随机过程 粗略的说—— 随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。 随机过程的统计特征不随时间的推移而变化 一. 严平稳随机过程 一. 严 1. 定义 设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n和任意 t1t2…tn，（ti ∈T ）时刻的n个状态的n维概率密度， 不随时间平移Δt而变化。(Δt为任意值) f (x ,x ,...,x ;t ,t ,...,t ) X 1 2 n 1 2 n ( , ,..., ; , ,..., ) f X x1 x 2 xn t1 =+Δt t 2 +Δt tn +Δt 则称该过程为严平稳随机过程 （或狭义平稳过程）。 严平稳随机过程 为了形象的说明问题，我们暂且假定随机过程的所有状态X(t) 可以用纵轴表示，见下图。 X (t) X(t +Δt) n X (t )X (t ) X (t +Δt )X (t +Δt ) 1 2 1 2 X (t ) n Δt Δt Δt 0 t t t +Δt t +Δt t t +Δt t 1 2 1 2 n n 无论t t Lt 如何选取，n个状态X (t +Δt), X (t +Δt), 1 2 n 1 2 ...,X (t n +Δt )的联合概率密度都不会随Δt 的变化而变化。 严平稳过程的统计特性与所选取的“时间起点”无关，无论从什 与所选取的“时间起点”无关 么时间开始测量n个状态，所得到的统计特性是完全一样的。 即：X(t)与X(t+Δt)具有相同的概率分布及数字特征。 X(t)与X(t+Δt)具有相同的概率分布及数字特征 2、严平稳过程的概率密度及数字特征 (1)、严平稳过程的一维概率密度与时间无关 一维概率密度与时间无关 f X (x ,t ) f X (x ,t =+Δt ) Δt =−t f X (x , 0) f X (x ) 因此有：严平稳过程的一维统计特性与时间无关 一维统计特性与时间无关 ∞ ∞ E [X (t )] ∫−∞ x =⋅f X (x ,t )dx ∫−∞ x =⋅f X (x )dx m X ∞ E [X (t )2 ] ∫−∞ x 2 =⋅ f X (x )dx ψX 2 ∞ D [X (t )] ∫−∞ (x =−m X )2 ⋅f X (x )