2013级的研究生数学物理方程复习资料2013年12月.docVIP

实例 1.求解定解问题： 解：设，代入方程分离变量整理得 ，代入条件边界条件有， 从而求得固有值，固有函数， 联合情况， 可有　固有值，固有函数， 代入固有值，并可求出 因此满足边界条件的解为 代入初值条件得　　，　 从而得原问题的解： 2.用分离变量法求解下列矩形域上的边值问题： 解：，其中满足常微分方程边值问题 ，解该问题得， 于是得满足的定解问题： 设，代入方程分离变量整理得 ，代入条件边界条件有， 求得固有值为　，故有函数为　 代入固有值求得　 则得解　 代入条件　的边界条件，得到 从而得问题的解： 则原问题的解为　 3.用Fourier变换求解半平面上的Dirichlet问题： 解：对作Fourier变换，记 则有 ，　方程的通解为　 代入条件得　 于是，对上式作Fourier逆变换得　 4.求解定解问题： 解：把问题分解为如下两个定解问题： 　　　（Ｉ） 和　　　　（ＩＩ） 用分离变量法解问题（Ｉ）得解为　， 代入初值条件求得　于是　 用齐次化原理求出问题（ＩＩ）的解为 其中　， 于是　 由于　 得到　 最后求得原问题的解为　 5.证明：在变换下， Cauchy问题有解的充分必要条件是　，其中是任意常数，而且，如果方程有解，则解不唯一． 证明：设变换　，代入方程化简得　　 积分求得　　其中是任意函数． 代入边界条件，可得　 这说明如果原问题有解，则上式一定成立；反之，如果上式成立，直接验证可知 是原问题的解．因为是任意常数，故解不唯一． 6. 用Laplace变换求解一阶偏微分方程的定解问题： 解：对变量施行Laplace变换，记，则利用变换性质，方程为 　 解得方程的通解为　 代入条件　　可得 从而得　 取逆变换得问题的解 7.求解初值问题： 解：对方程积分两次得　 ， 其中　分别为的任意函数，代入条件可得 从而得原问题的解： 8. 求定解问题的解 解：设 代入原方程并分离变量得，以及…6分 求得， 以及 从而得到解 其中，　 , 9.求解薄膜的恒定表面浓度扩散问题．薄膜厚度为，杂质从两面进入薄膜，由于薄膜周围气体中含有充分的杂质，薄膜表面上的杂质浓度得以保持为恒定的，其定解问题为 　　．　求解 解：作代换　，代入定解问题得 利用分离变量法求得问题的固有值为：， 固有函数为　，　， 并代入固有值求得　，于是 代入条件可求得系数　 则解 因此， ＋ 10.求解下列定解问题： 解：设代入方程分离变量得到， 由边界条件得 解　　 得固有值，　　固有函数 另求得方程的解， 从而得到解 代入初值条件求得　，， 从而得解为　 11.求定解问题: 12.在扇形区域内求下列定解问题：　的解． 解：设 代入原方程并分离变量得，以及 求得固有值　　固有函数　 把固有值代入的方程并由条件求解得　 叠加得解为　 代入条件求得系数　以及　 从而得定解问题的解为　 13. 用分离变量法求解下列初边值问题： 解：第１步　边界条件齐次化 设　，其中与具有相同的边界条件，满足边界条件　 由第一个等式可设　，将它代入第二个方程求得 所以，，于是有满足的定解问题 第２步　分离变量，求固有值问题 设代入方程分离变量得到， 由边界条件得 解　　 得固有值，　　固有函数 第三步　应用广义Fourier展开解非齐次方程对应常微分方程的初值问题 关于的方程非齐次项显然只有一个系数，其它 ．同理，展开为，其它 因此方程的解为　　 系数满足： 当时，有 当时，有 解前一方程得　 第四步　利用叠加原理确定原来方程的解 显然， 最终得到　 14. 一根长为的枢轴，它的初始温度为，其两端温度保持为度，试求在枢轴上温度的分布情况。 解：问题归结为定解问题： 设 代入方程并分离变量得 （4）和 （5） 求得方程（1）的通解为， 由边界条件得，代入通解可求得 ，固有值 于是固有函数 解方程(2)得 从而得解 代入初始条件得 从而得 则原问题的解为 15. 在矩形域内求Laplace方程的解，使之满足边界条件： 解：设拉普拉斯方程为 （1） 令，代入（1）得 （2） （3） 由边界条件得到 在时，方程（3）的通解为 代入条件得 于是有 将代入（2）得通解为 于是有解 由边界条件 得 代入得原问题的解 16. 求解定解问题 其中为充分光滑的已知函数。作代换 证明：该定解问题的解为 解：作代换 代入原方程化得，因此原问题化为 积分得方程（1）的通解为， 为光滑函数 代入条件（2）（3）解得 ， 从而 ,代入变换式得原问题的解为 17. 求解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为 解：设，代入方程并分离变量得 （1） 和 （2） 求得方程（1）的通解为， 由边界条件得， 代入通解可求得