2012届高三数学一轮复习：7.2.docVIP

专题七：思想方法专题 第二讲 数形结合思想[来源:学。科。网Z。X。X。K][来源:学.科.网]]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点． （2）f(x)≤g(x)，即，变形得，令…………①，………………② ①变形得，即表示以（-2，0）为圆心，2为半径的圆的上半圆； ②表示斜率为，纵截距为1-a的平行直线系．设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为，则有tan=,, 要使f(x)≤g(x)在x∈[-4,0]时恒成立，则②成立所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有1-a≥6,∴a≤-5． 注：（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数． （2）解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答． （3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标． 要点考向2：数形结合在解析几何中的应用 例3：已知椭圆的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若椭圆在第一象限的一点的横坐标为，过点作倾斜角互补的两条不同的直线，分别交椭圆于另外两点，，求证：直线的斜率为定值； （Ⅲ）求面积的最大值． 解析：（Ⅰ）设椭圆的方程为． 由题意 ………………………………………………2分 解得 ，． 所以椭圆的方程为．………………………………………………4分，的斜率必存在，设的斜率为，则的直线方程为. 由得 .………………6分，，则 ， 同理可得， 则，.[来源:学科网ZXXK]的斜率为定值. ……………………………………8分 （Ⅲ）设的直线方程为. 由得. 由，得.……………………………………10分 此时，. 到的距离为， [来源:学*科*网] . 因为使判别式大于零， 所以当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为．………………………………………………………13分 注：1．数形结合思想中一个非常重要的方面是以数辅形，通过方程等代数的方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效． 2．此类题目的求解要结合该类图形的几何性质，将条件信息或结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程（组）或不等式（组），从而将问题解决． 要点考向2：数形结合在立体几何中的应用 例4：如图1,在直角梯形中,,,, 为线段的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示. (Ⅰ) 求证:平面； (Ⅱ) 求二面角的余弦值. 解析:（Ⅰ）在图1中,可得,从而,故. 取中点连结,则,又面面, 面面,面,从而平面. …………………4分 ∴，又,. ∴平面. ………………………………………………6分 （Ⅱ）建立空间直角坐标系如图所示,则,, ,. ………………………………………………8分 设为面的法向量, 则即,解得. 令,可得. 又为面的一个法向量， ∴. ∴二面角的余弦值为. 注：1．应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中的平行、垂直及点的空间位置．其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐标运算． 2．立体几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口． 【跟踪模拟训练】 一、选择题（每小题6分，共36分） 1.方程lgx=sinx的根的个数( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 2．已知全集U=R，集合A={x|x2-3x-100},B={x|x3},则右图中阴影部分表示的集合为( ) A．(3,5) B．(-2,+) C．(-2,5) D．(5,+ ) 3．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0}，则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为（ ） (A)2 (B)1 (C) (D) [来源:学*科*网Z*X*X*K]函数图象如图，则函数 的单调递增区间为（ ） A． B．C． D． 有解，则实数的取值范围是（ ） A．