计算方法3_线性方程组迭代解法.pptVIP

3.1 向量和矩阵的范数 Norms of Vectors and Matrices 3.2 Jacobi迭代法 3.3 收敛性和误差估计 3.4 松弛法 3.5 迭代法的特点 方法简单，每次迭代都是简单的重复运算，易于编制程序；与求解线性方程的精确法相比，简单迭代法对于字长位数较少的计算机更为适用，它可以用增加迭代次数来弥补字长位数少的不足。 初值可以任取，因而中间结果偶然错误不影响最后结果的获得。 缺点：用计算机计算时，迭代速度较慢。 就其收敛性而言，某些用Seidel迭代法不能收敛。而无法得出结果的线性代数方程组，用Jacoai迭代法却能进行收敛计算，反之已然。 例：用GS迭代法求解例[3.3] 　　　　　　　　　　　　　　　　 相关程序设计 原始数据（A,b)可用一个二维数组存储，也可将A用一个二维数组，b用一个一维数组分别存储，存储　　需要一个一维数组。程序中应方便地对迭代方法和终止条件的选择以及对初始向量和?值的设置。在迭代过程中，为反映迭代情况，可设置一些中间数据的输出，如迭带次数，迭代向量，迭代残向量等。当然不需要每迭代一次都作输出，这可作为收敛情况或不收敛情况的分析。作为不收敛的判定，可设置一个大的整数，当迭代次数超过该数时作为不收敛处理。 GS 迭代法的计算公式为： 请给出用C语言或其他语言求解下面方程组的程序及结果： 方法优缺点讨论 　　由以上例题的求解过程可明显看出GS迭代法的收敛速度比简单迭代法快，但对于任意给定的一个方程组分别用简单迭代法和GS迭代法求解时，两种迭代法可能都收敛，也可能都不收敛。也有可能是GS迭代法收敛而J迭代法不收敛。但亦有相反情况，即简单迭代法收敛而GS迭代法不收敛。而且交换方程组中的方程和未知数的次序都会影响GS迭代法的计算结果，但这种交换对简单迭代法是没有影响的。　 当使用Jacobi迭代法或Seidel迭代法解线性方程组时，可能会出现收敛极慢的情况，为了提高迭代收敛速度，我们再给出时SOR法，此方法又称为超松弛法（Successive Over Relaxation Method），它具有提高迭代收敛速度的功能。SOR法由Seidel迭代法演变而来，其基本思想是利用原迭代的第次迭代值及由产生的下一步Seidel迭代值的加权平均构成新的迭代格式。 松弛法可认为是Seidel法的加速 Seidel法 X(k+1)=LX(k+1) + UX(k)+ G k=0,1,2,… 令 ΔX=X(k+1) －X(k) =LX(k+1) + UX(k)+ G －X(k) X(k+1) = X(k) ＋ΔX 松弛法思想 X(k+1) = X(k) ＋ωΔX 松弛法 X(k+1)= (1- ω)X(k) ＋ω(LX(k+1) + UX(k)+ G) k=0,1,2,… 其中，ω称为松弛因子，当ω1时叫超松弛，当ω1时叫低松弛 也可记为 X(k+1)=(I-ωL)-1((1-ω)I+ ωU)X(k)+ ω(I-ωL)-1G 称(I-ωL)-1((1-ω)I+ ωU)为松弛法的迭代矩阵 (3.8) (3.9) (3.10) 唯一解X＝(3,4,-5)T -5.0027940 -5.0183105 -5.0292969 -5.046875 1 x3k 3.9888241 3.9267578 3.8828125 3.812500 1 x2k 3.0134110 3.0878906 3.1406250 5.250000 1 x1k 7 3 2 1 0 k Seidel法 -5.0003486 -5.0966863 -4.6004238 -6.6501465 1 x3k 4.0002586 4.0102646 3.9585266 3.5195313 1 x2k 3.0000498 3.1333027 2.6223145 6.312500 1 x1k 7 3 2 1 0 k SOR法 ω=1.25 * * 第3章 线性方程组迭代解法 Iterative Techniques for Solving Linear Systems (2.1) 直接法是通过有限步运算后得到线性方程组的解，解线性方程组还有另一种解法，称为迭代法 迭代法：不是用有限步运算求精确解，通过迭代产生近似解逼近精确解 基本思想是将线性方程组 AX＝B 化为X＝BX+F,再由此构造一个向量序列{X(k)} X(k+1)=BX (k)+F 若{X(k)}收敛在某个极限向量X*，则可得X*就是(2.1)式的准确解 线性方程组的迭代法主要有Jocobi迭代法、 Gau