图形表征与综合贯通.docVIP

图形表征与综合贯通 王 永 小学数学应用题教学存在的突出问题，是“问题解决”的创造性活动往往被异化为“对题型，套解法”的机械操练。老师们普遍重视应用题类型的解题教学，旨在建立应用题的字面特征与特定算法之间的联系，甚至不惜采用题海战术,；普遍忽视培养学生用图形表征数量关系的能力，因此也就缺失了存异求同，综合贯通，消除知识间的矛盾和冲突，从而达到新的认识的手段与途径。 比如，分数乘除法应用题教学，存在上述问题是十分普遍和典型的。缺少了图形表征与综合贯通的数学教学，其产生的不良后果，是学生无法把握知识间的横向联系，而陷入机械学习。学生不知道许多表面上不同的术语实际上代表着本质上相同的概念，就像他们看不清如下三类应用题有什么共同点。 问题1：鸭4只，鹅12只，鸭的只数是鹅的几分之几？ 问题2：鹅12只，鸭的只数是鹅的，鸭几只？ 问题3：鸭4只，鸭的只数是鹅的，鹅几只？ 为了避免混淆，教学中一般都注意比较上述问题及其算法的区别。但是，却不见进一步去揭示这些问题的共性，因此也就无法去建立更上位的、更具包攝性的数学模型，把那些形式各异的算式与算法联系或统一起来。 为了便于发现上述问题本质上的联系，需要借助图形表征它们的数量关系。如问题1可以用图①表征： 0 ？ 1 0 4 12 图① 图①的意义是，如果把12视为“1”，那么与4对应的是几分之几？图①直观地表明了问题中绝对数量与相对数量之间的一一对应关系，并把已知数与未知数有序地联系起来。同样地，问题2与问题3可以用类似的图②与图③来表征： 0 1 0 ？ 12 图② 0 1 0 4 ？ 图③ 事实上，图①、图②与图③所揭示的绝对数量与相对数量之间的对应关系是相同的，如图④所示： 0 1 0 4 12 图④ 从图④中可以发现特殊的等量关系，如4÷12=÷1，或者4÷=12÷1。把它推而广之，即：两个绝对数量（0除外）的商与它们对应的两个相对数量的商相等，或者绝对数量与它对应的相对数量的商保持不变。这个规律与图形表征的方法，才是分析和解决任何分数乘除法应用题的通性通法。这个规律待学过“比与比例”之后，还可以简洁地描述为：两个绝对数量（0除外）与它们对应的相对数量成比例，或者绝对数量与它对应的相对数量成正比。 例1 商店运来一些水果。运来苹果20筐，梨的筐数是苹果的 ，同时又是桔子的，运来的桔子多少筐？ 图形表征： 0 1 0 ？ 20 梨 苹果 0 1 0 ？ ？ 梨 桔子 从不同的角度分析上图中绝对数量与相对数量之间的对应关系，可以找到如下相应的算法： ⑴ 设桔子有x筐，则x = 20×，解得x =25。 ⑵ 20×=15，15÷=15×= 25。 ⑶ 20÷4 = 5，5×5 = 25（或者20+5=25）。 ⑷ 设桔子有x筐，则x = 20×，解得x = 25。 ⑸ ÷=，20÷=20×=25。（桔子数量为“1”时，先求苹果对应的相对数量） ⑹ ÷=，20×=25。（苹果数量为“1”时，先求桔子对应的相对数量） 例2 小明家五月份用电56度，比四月份节约，四月份小明家用了多少度电？ 图形表征：