分式型函数值域的若干解法.docVIP

分式型函数值域的若干解法 山东沂源一中 李之帅 256100 整式型函数（特别是二次函数）一直是高考的重点、热点。但近几年来，分式型函数在高考题中频繁出现，业已成为高考的一个新视点，但现行教材与复习资料对分式型函数尚无系统介绍，现就值域求法归纳整理，供同仁们商榷。 1、反比例函数法 形如y=(a≠0)的函数，通过分离常数法转化为反比例函数，它作为一种函数模型，在高考中出现频率较高。 例1：已知函数f(x)=，求函数的值域 解析：原函数变形得：f(x)= 令g(x)= ∵g(x)≠0 ∴f(x)≠1 ∴原函数的值域为{y | y∈R且y≠1} 特别指出的是若在某一范围内时如： 例2：已知函数f(x)=（0≤x≤1）求函数的值域 解析：原函数变形得f(x)= 令t=x+1 ∵ 0≤x≤1 ∴ 1≤x+1≤2 而g(t)在[1，2]上是减函数，∴ g(t)∈[1，2] ∴ -g(t)∈[-2，-1] ∴ f(x)∈[-1，0] ∴ 原函数的值域为[-1，0] 说明：（1）适用范围：形如y=(a≠0)的函数 （2）若x无限制范围，则y≠ （3）若x有限制范围，则利用反比例函数的单调性 2、双曲函数法 形如（a0, b0）型的函数，称为双曲函数，易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，对此类函数，我们首先考虑基本不等式法，其次是单调性法。 例３ 求函数y=的值域 解析：当x≠-1时，将函数变形为y== ∵≥2 当且仅当即x=0时等号成立 ∴0y≤，当x=-1时y=0 故原函数的值域为[0，] 说明：使用基本不等式法，应构造基不等式模型，并注意使用条件：“一正，二定，三相等”。 例４ 已知函数（a0） （1）当0a1时，求函数的值域 （2）当a1时，求函数的值域 解析：将函数变形为= （1）当0a1时 ≥2 当且仅当即等号成立 ∴y≥2 故原函数的值域为 （2）当a1时，由(1)知当x2=1-a时等号成立，显然x2=1-a不成立，故不能用基本不等式法下面用函数单调性法求解。 令易证函数在区间上为增函数。 ∴ 故原函数的值域为 说明：（1）适用范围形如：的函数 （2）能使用基不等式法则一定可以使用单调性法，反之则不然。 3、判别式法 例５：求函数的值域 解析：∵x2+x+1≠0,对x∈R恒成立 ∴将已知式变形得 ① 1、若y=2时，①式化为-1=0不成立 2、若y≠2时，由△=≥0，得2y≤ 故原函数的值域为 例６：若函数的值域[-1，4]，求实数a、b的值。 解析：由 ∵当y≠0时又x∈R ∴方程恒有实数根 ∴≥0 即 ≤0 由-1≤y≤4据韦达定理得 解得：b=3 a=±4 说明：（1）适用范围形如（a、d不同时为0且x∈R）的函数。 （2）若x有限制则可转化为方程根的分布问题。 （3）若a,d中必有一个为0，可用双曲函数法，较判别式法要简单的多。 （4）若a, d都为0，则可用反比例函数法。 4、有界性法 例７：求函数的值域 解析：将原函数变形得 即： ∵ x∈R ∴ | sin(x+θ)|≤1 ∴ ≤1，解得≤y≤ 故原函数的值域为[，] 例８：已知的值域为，求a的值。（解略） 说明：有界性法，在中学阶段主要考察；；y=ex；y=x2等几个常见函数。 5、向量法 例９：已知x、y、z∈(0, +∞)，且，求的最大值 解析：由易得： 构造向量 根据定理得 ≥= 解得≤， 当且仅当x=y=z=时，等号成立 故最大值为 例１０：已知| x |1 | y |1，求证： ≥（第十九届莫斯科数学竞赛题） 解析：构造向量， 由向量的数量积≤，易证 说明：向量是现行高中新教材的新增内容，向量的引入进一步发展和完善了中学数学知识结构，拓宽了研究和解决数学问题的思维通道，工具性得到具体体现。对于求函数最值主要是两个方面： 1、运用≤，≤ 2、运用| ≤≤ 6、数形结合法 例1１：求函数的值域 解析：令，其中 y≥0，则有，原函数变 为，所以函数表示 过定点P(-1, -3)的直线的斜率。 作出可行域，如图可行域是以原点（2，0）为圆心，1为半径的半圆，过定点P(-1, -3)和圆心（2，0）作直线l。x-y-2=0。当直线P0至l1位置过点A(3, 0)时，Umin=当直线右移至l2位置时Umax= 故原函数的值域为 说明：数形结合既是一种重要的思想，也是一种常用的方法，本文主要探讨，根据问题的条件和结论之间的内在联系，分析其代数含义，构建几何模型，分析曲线的相对位置关系。 其他方法不再一一举证了，总之，注意指导学生总结学习过的内容、解题方法，建立知识的横向和纵向联系，有利于构筑和完善学生的知识网络，提高学生的数学学习效