定义与基本性质标准正交基同构正交变换子空间对称矩阵的.pptVIP

第九章 欧氏空间 定义与基本性质一、欧氏空间的定义 二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 三、欧氏空间中向量的夹角（续） 四、n 维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏空间的子空间 标准正交基一、正交向量组 二、标准正交基 二、标准正交基（续） 三、正交矩阵 同构一、欧氏空间的同构 二、同构的基本性质 正交变换一、一般欧氏空间中的正交变换 二、n 维欧氏空间中的正交变换 二、n 维欧氏空间中的正交变换(续) 子空间一、欧氏空间中的正交子空间 二、子空间的正交补 实对称矩阵的标准形一、实对称矩阵的一些性质 二、对称变换 三、实对称矩阵的正交相似对角化 三、实对称矩阵的正交相似对角化（续） 向量到子空间的距离一、向量到子空间的距离 二、最小二乘法 * * 定义与基本性质 标准正交基 同构 正交变换 子空间 对称矩阵的标准形 向量到子空间的距离─最小二乘法 子空间介绍 1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量 定义一个二元实函数， 记作 ，若 满足性质： （对称性） （数乘） （可加性） 　　当且仅当 时 （正定性） 则称 为 和 的内积，并称这种定义了内积的实数域 R上的线性空间V为欧氏空 间. 2. 内积的简单性质 V为欧氏空间， 推广： 1. 向量长度的定义 称为向量 的长度. 特别地，当 时，称 为单位向量. 2. 向量长度的简单性质 3) 非零向量 的单位化： 1. 柯西－布涅柯夫斯基不等式 对欧氏空间V中任意两个向量 ，有 当且仅当 线性相关时等号成立. 2. 欧氏空间中两非零向量的夹角 定义: 设V为欧氏空间， 为V中任意两非零向量， 的夹角定义为 定义：设 为欧氏空间中两个向量，若内积 则称 与 正交或互相垂直，记作 注： ① 零向量与任意向量正交. ② 　即　 . 3. 勾股定理 设V为欧氏空间， , 推广：若欧氏空间V中向量 两两正交， 即 则 令 则 定义：矩阵 称为基 的度量矩阵. 设V为欧氏空间， 为V的一组基，对V中任意两个向量 欧氏空间V的子空间在V中定义的内积之下也是一个欧氏空间，称之为V的欧氏子空间. 定义：设Ｖ为欧氏空间，非零向量 如果它们两两正交，则称之为 正交向量组. 注： ① 若 则 是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组. ③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． ④