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华长生制作 华长生制作 * 华长生制作 华长生制作 第五章 线性方程组的数值解法 2.1 直接法与三角形方程组求解 2.2 Gauss消去法 第五章 线性代数方程组的数值解法 2.3 Gauss列主元消去法 2.4 直接三角分解法 2.5 平方根法 2.6 追赶法(Thomas法) 本章要点 线性方程组的解法类型之一 :直接解法 主要归结为三角形方程组的求解 包括一般线性方程组的Gauss消去法、 Gauss列主元法、对称正定方程组的平 方根法、三对角方程组的追赶法等 涉及到一些三角分解：主要有Doolittle 分解、Crout分解、Cholesky分解等 P68. 1. 2. 4.(2) 5. 6. 9. 10. 13.(1) 14. 15.(2) 16.(1) 本章作业 本章应用题：投入产出平衡分析 设国民经济仅由农业、制造业和服务业三个部门组成, 已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始 投入等如下表所示： 表1. 国民经济个部门之间的关系 表2. 投入产出表 假定每个部门的产出与投入成正比,则由表1可确定 三个部门的投入产出表,如表2. 投入系数 或消耗系数 1) 设有 n 个部门,已知投入系数,给定外部需求,建立 求解个部门总产出的模型 2) 设投入系数如表2所给,如果今年对农业、制造业 和服务业的外部需求分别为50,150,100亿元,问这 三个部门的总产出分别为多少? 3) 如果三个部门的外部需求分别增加1个单位,他们 的总产出分别增加多少? 4) 如果对于任意给定的、非负的外部需求,都能得到 非负的总产出,模型就称为可行的,问为使模型可行, 投入系数应满足什么条件? 第二章 解线性方程组的直接法 2.1 直接法与三角形方程组求解 实际问题中的线性方程组分类： 按系数矩阵中 零元素的个数： 稠密线性 方程组 稀疏线性 方程组 按未知量 的个数： 高阶线性 方程组 低阶线性 方程组 (如1000) (80%) 按系数矩 阵的形状 对称正定 方程组 三角形 方程组 三对角占 优方程组 一、直接法概述 直接法是将原方程组化为一个或若干个三角形 方程组的方法，共有若干种． 对于线性方程组 其中 系数矩阵 未知量向量 常数项 ------------(1) 根据Cramer(克莱姆)法则,若 determinantal 行列式的记号 若用初等变换法求解,则对其增广矩阵作行初等变换: 经过n-1次 同解 即 以上求解线性方程组的方法称为Gauss消去法 则 都是三角 形方程组 上述方法称为直接三角形分解法 ------------(2) 不论是Gauss消去法还是直接三角形分解法, 最都归结为解三角形方程组 二、三角形线性方程组的解法 若记 下三角形线性方程组 上三角形线性方程组 即 回代方向 其解为 其解为: 回 代 方 向 2.2 Gauss消去法 一、消元与回代计算 对线性方程组 对其增广矩阵施行行初等变换: 定义行乘数 且 * * * * *