2014年高中数学学习资料2.docVIP

抽象函数问题求解的常用方法 抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识．可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势． 1．函数原型法 【例1】给出四个函数，分别满足①；②；③；④，又给出四个函数图象 正确的匹配方案是（ ） （A）①—丁②—乙③—丙④—甲 （B）①—乙②—丙③—甲④—丁 （C）①—丙②—甲③—乙④—丁 （D）①—丁②—甲③—乙④—丙 分析与解：抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而成的。如正比例函数可抽象为。因此，我们可得知如下结论： （1）抽象函数可由一个特殊函数正比例函数抽象而成的； （2）抽象函数可由一个特殊函数幂函数抽象而成的； （3）抽象函数可由一个特殊函数指数函数抽象而成的； （4）抽象函数可由一个特殊函数对数函数抽象而成的； （5）抽象函数=可由一个特殊函数正切函数抽象而成的； 根据上述分析，可知应选D。 2．代数演绎法 【例2】设定义在上的函数对于任意都有成立，且，当时，。（1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明； （2）试问：当-2003≤≤2003时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由； （3）解关于的不等式，其中. 分析与解：⑴令x=y=0，可得f(0)=0 令y=-x，则f(0)=f(－x)+f(x)，∴f(－x)= －f(x)，∴f(x)为奇函数 ⑵设－3≤x1＜x2≤3，y=－x1，x=x2 则f(x2－x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2)－f(x1)，因为x＞0时，f(x)＜0， 故f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0。 ∴f(x2)＜f(x1)、f(x)在区间[－2003、2003]上单调递减 ∴x=－2003时，f(x)有最大值f(－2003)=－f(2003)=－f(2002+1)=－[f(2002)+f(1)]=－[f(2001)+f(1)+f(1)]=…=－2003f(1)=4006。 x=2003时，f(x)有最小值为f(2003)= －4006。 ⑶由原不等式，得[f(bx2) －f(b2x)]＞f(x) －f(b)。 即f(bx2)+f(－b2x)＞2[f(x)+f(－b)] ∴f(bx2－b2x)＞2 f(x－b)，即f[bx(x－b)]＞f(x－b)+f(x－b) ∴f[bx(x－b)]＞f[2 f(x－b)] 由f(x)在x∈R上单调递减，所以bx(x－b)＜2(x－b)，∴(x－b)(bx－2) ＜0 ∵b2≥2, ∴b≥或b≤－ 当b＞时，b＞，不等式的解集为 当b＜－时，b＜，不等式的解集为 当b=－时，不等式的解集为 当b=时，不等式解集为φ 评注：本题综合考查函数性质、不等式解法及分类讨论等数学思想。本题中，若满足，则是奇函数。这一命题在解决问题中起着较大作用。事实上，对于抽象函数往往存在奇偶性: （1）若函数满足，则是奇函数 （2）若函数 满足，则是奇函数 （3）若函数 满足=，则是奇函数 （4）若函数满足，，则是偶函数。 3．特殊值法 【例3】已知定义在上的函数满足： （1）值域为，且当时，； （2）对于定义域内任意的实数，均满足： 试回答下列问题： （Ⅰ）试求的值； （Ⅱ）判断并证明函数的单调性； （Ⅲ）若函数存在反函数，求证：． 分析与解：（Ⅰ）在中，令，则有．即：．也即：． 由于函数的值域为，所以，，所以． （Ⅱ）函数的单调性必然涉及到，于是，由已知 ，我们可以联想到：是否有？（＊） 这个问题实际上是：是否成立？ 为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系．由于，所以，在中，令，得．所以，函数为奇函数．故（＊）式成立．所以，．任取，且，则，故且．所以，，所以，函数在R上单调递减． （Ⅲ）由于函数在R上单调递减，所以，函数必存在反函数， 由原函数与反函数的关系可知：也为奇函数；在上单调递减；且当时，． 为了证明本题，需要考虑的关系式． 在（＊）式的两端，同时用作用，得：， 令，则，则上式可改写为：． 不难验证：对于任意的，上式都成立．（根据一一对应）． 这样，我们就得到了的关系式． 这个式子给我们以提示：即可以将写成的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端． 事实上，由于， 所以，． 所以， 点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定的值． 【专项练习】 1．（2005年广东省高考试题）设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有． （Ⅰ）试判断函数的奇偶性； （Ⅱ）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论． 2．（2