高中数学北师大版选修4-1.1导数与函数的单调性课件.pptVIP

§ 1　函数的单调性与极值 1.1　导数与函数的单调性 1.体会导数的符号与函数单调性的关系． 2.掌握利用导数研究函数单调性的方法与步骤． 3.会求函数的单调区间. 1.利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间．(重点) 2.常与不等式结合考查．(难点) 　在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系： 2．函数y＝x＋lnx的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，－1)，(1，＋∞) C．(－1,0) D．(－1,1) 答案：　A 3．函数y＝x2－4x＋a的单调递增区间为________，单调递减区间为________． 答案：　(2，＋∞)　(－∞，2) 4．求下列函数的单调性： (1)y＝x3＋x； (2)y＝x3－x； 解析：　(1)y＝x3＋x，y′＝3x2＋1≥10， ∴y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数． (2011·江西卷，4)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)0的解集为(　　) A．(0，＋∞)　　　　　　 B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0) [解题过程]　(1)f′(x)＝4x3－4x＝4x(x－1)(x＋1)． 由f′(x)0解得－1x0或x1. 由f′(x)0解得x－1或0x1. ∴增区间为(－1,0)和(1，＋∞)，减区间为(－∞，－1)和(0,1)． 1.求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x－x3； (2)f(x)＝3x2－2lnx. (2011·广东卷，19)(本小题满分14分)设a0，讨论函数f(x)＝ln x＋a(1－a)x2－2(1－a)x的单调性． 2.求函数y＝x3＋ax的单调区间． 解析：　y′＝3x2＋a. ①当a≥0时，y′≥0，函数y＝x3＋ax在(－∞，＋∞)上为增函数． 已知a＞0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，求a的取值范围． [解题过程]　∵f′(x)＝3x2－a， 又f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴f′(x)＝3x2－a≥0对任意x∈[1，＋∞)恒成立． ∴a≤3x2对任意x∈[1，＋∞)恒成立，∴a≤(3x2)min. 又3x2≥3，x∈[1，＋∞)， ∴0＜a≤3. 3.若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围． 解析：　f′(x)＝3x2＋2x＋m. 由于f(x)是R上的单调函数， 所以f′(x)0恒成立或f′(x)0恒成立． 由于30，所以只能有f′(x)0恒成立， 我们知道，如果函数f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说f(x)在这一区间具有单调性，先看下面的例子：函数y＝f(x)＝x2－4x＋3的图象如图所示． 考虑到曲线y＝f(x)的切线的斜率就是函数f(x)的导数，从图象可以看到：在区间(2，＋∞)内，切线的斜率为正，即f′(x)0时，f(x)为增函数；在区间(－∞，2)内，切线的斜率为负，即f′(x)0时，f(x)为减函数． 再观察函数的图象(如图)，探讨函数的单调性与其导函数正负的关系． 一般地，函数的单调性与导函数的正负有如下关系： 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 1．用导数法求单调区间 单调区间必须是函数的定义域中的子集，因而确定函数的定义域是前提，单调区间的形式是由函数的间断点(即函数的无定义点)的横坐标分成的，若干个单调区间之间不能取并集． 2．导数法判断单调性的充要性 函数f(x)在某区间上f′(x)0(或f′(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．比如函数f(x)＝x3，由f′(x)＝3x20，得f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，而f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增有f′(x)≥0，其中f′(0)＝0. 3．导数法求单调区间与已知单调性求参数的取值范围的区别 求函数f(x)的单调区间就是解不等式f′(x)0或f′(x)0，将解集与定义域求交集． 若函数f(x)在区间(a，b)内单调，解f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立． ◎求函数f(x)＝2x2－lnx的单调区间． No.1 预习学案 No.2 课堂讲义 No.3 课后练习 工具 第四章 导数应用 栏目导引 [－1，＋∞) 常数函数 f′(x)＝0 单调 f′(x)0 单调 f′(x)0 函数的单调性 导数 增函数 减函数 答案：　A 答案：　C * * * * No.1 预习学案 No.2 课堂讲义 No.3 课后练习 工具 第四章 导数应用 栏目导引