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测量误差的概念 用仪器对某量进行观测，就会产生误差。 表现——在同等条件下对某个量进行多次重复观测， 所得观测值l1， l2 ，…， ln一般互不相等。 设观测量的真值—— ， 观测量li的误差—— 产生误差的原因——仪器误差、观测误差与外界环境。 误差分类——偶然误差、系统误差、粗差。 (1) 偶然误差—— 符号与大小呈偶然性， 单个偶然误差无规律，大量的偶然误差有统计规律。 偶然误差——真误差。 案例 三等、四等水准测量， 在cm分划的水准标尺上估读mm位， 估读的数有时过大，有时偏小； 经纬仪测量水平角， 大气折光使望远镜中目标的成像不稳定， 引起瞄准目标有时偏左、有时偏右。 多次观测取平均值可以削弱偶然误差的影响， 不能完全消除偶然误差的影响。 (2) 系统误差—— 符号与大小保持不变，或按一定规律变化。 案例 钢尺量距， 用没有鉴定、名义长为30m、 实际长为30.005m的钢尺量距， 每丈量一整尺段距离就量短了0.005m， 产生-0.005m的量距误差。 各整尺段的量距误差大小都是0.005m， 符号都是负，不能抵消，具有累积性。 系统误差对观测值的影响具有一定的规律性， 找到规律就可对观测值施加改正 以消除或削弱系统误差的影响。 (3) 粗差—— 测量中的错误。 案例 三角形内角和的理论值等于180°， 只要测量了任意两内角， 第三个内角可用180°减去两内角和求得， 确定三角形形状的必要观测数为2。 若内角测量时，经纬仪对中对错了点， 所测内角就有粗差， 没有检核条件时，该粗差不能被发现，更不能被消除。 若测量了第三个内角——多余观测， 三内角和等于180°就构成了一个检核条件。 若角度闭合差超过限差要求，应舍弃错误观测值，重新观测。 粗差可通过多余观测发现， 重新观测含粗差的观测量消除粗差。 误差定义—— 规范规定 测量仪器使用前应进行检验和校正； 按规范要求操作； 布设平面与高程控制网测量控制点的三维坐标时， 应有一定量的多余观测。 严格按规范要求进行测量时， 系统误差与粗差是可被消除或削弱到很小， 只讨论误差包含有偶然误差(真误差)的情形。 §6.2 偶然误差的特性 定义—— 大部分情况下，真值 未知，求不出Δ。 某些情形中，观测量函数的真值已知， 案例，三角形内角和闭合差ω定义为 ωi=(β1+ β2 + β3)i－180° 真值 ， ω的真误差—— 结论：三角形闭合差的真误差等于闭合差本身。 ① 偶然误差有界。 一定观测条件、有限次观测中， 偶然误差的绝对值不超过一定限值； ② 小误差出现的频率大，大误差出现的频率小， ③ 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等； ④ 观测次数n→∞，偶然误差平均值→0 当误差数n→∞ ，误差区间dΔ→0 ， 小长条矩形顶边折线变成光滑曲线——正态分布密度曲线， 函数式—— 正态分布概率密度函数， 德国科学家高斯(Gauss)1794年研究误差规律时发现。 衡量精度的指标 评定测量成果的精度是测量平差的主要任务之一。精度就是指误差分布的密集或离散的程度。 从直方图来看，精度高，则误差分布较为密集，图形在纵轴附近的顶峰则较高，且由长方形所构成的阶梯比较陡峭；精度低，则误差分布较为分散，在纵轴附近顶峰则较低，且其阶梯较为平缓。这个性质同样反映在误差分布曲线的形态上，即有误差分布曲线较高而陡峭和误差分布曲线较低而平缓两种情形。 衡量精度的指标 在一定的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种确定的误差分布。如果分布较为密集，即离散度较小时，则表示该组观测质量较好，也就是说，这一组观测精度较高；反之，如果分布较为离散，即离散度较大时，则表示该组观测质量较差，也就是说，这一组观测精度较低。在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于他们对应着同一种误差分布，对于这一组中的每一个观测值，都称为是同精度观测值。 衡量精度的指标--相对误差 对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏。须采用另一种办法来衡量精度，通常采用相对中误差，它是中误差与观测值之比。在测量中一般将分子化为1。 对于真误差与极限误差，有时也用相对误差来表示。例如，经纬仪导线测量时，规范中所规定的相对闭合差不能超过，它就是相对极限误差；而在实测中所产生的相对闭合差，则是相对真误差。与相对误差相对应，真误差、中误差、极限误差等均称为绝对误差。 最小二乘法 例如，2003年全国大学生数学建模竞赛A题：SARS的传播 () 高斯 (1777 – 1855) ?测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。 中误差: 观测次数无限多时，用标准差 表示偶然误差的离散情形： 上式中，偶然误差?为观测值?与真值X之差