第二章 误差的基本性质与处理.pptVIP

　　 当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统计规律。 　　　 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构成，主要有以下几方面： 　　　 ① 测量装置方面的因素 　　　 ② 环境方面的因素 　　　 ③ 人为方面的因素 　 设被测量值的真值为　，一系列测得值为　，则测量列的随机误差　可表示为： (2-1) 　 式中　　　　　　　 　其平均误差为：　　　　　　　　　　　　　　　 　(2-6) 　 此外由　　　　　　　 可解得或然误差为 ： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(2-7) 　 　由正态分布的分布密度可以推导出： 　　　① 有 　　　　, 　　　　 可推知分布具有对称性，即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性； 　　　 ② 当δ=0时有 　　　 ，即 　　　　，这称为误差的单峰性； 　　　 ③ 虽然函数　　的存在区间是[-∞,+∞]，但实际上，随机误差δ只是出现 [-kσ,+kσ],称为误差的有界性； 　　　④ 随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于 零：　　　 这称为误差的抵偿性。 证明:当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。 一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按 求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差： (2-9) 例1 测量某物理量10次，得到结果见表1，求算术平均值。 （二）算术平均值的计算校核 　　算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和来校核。 　　由　　　　　　 　用残余误差代数和校核算术平均值及其残差，其规则为： ①残差代数和应符合： 当　　　　 ，求得的　为非凑整的准确数时，　　为零； 当　　　　　 ，求得的　为凑整的非准确数时，　　为正，其大小为求　时的余数； 当　　　　　 ，求得的　为凑整的非准确数时，　　为负，其大小为求　时的亏数。　　　 例3 测量某直径11次，得到结果如表2－2所示，求算术平均值并进行校核。 用第一种规则校核，则有： 用第二种规则校核，则有： 故用两种规则校核皆说明计算结果正确。 或然误差ρ 测量列的或然误差ρ，它将整个测量列的n个随机误差分为个数相等的两半。其中一半（n/2个）随机误差的数值落在-ρ- +ρ范围内，而另一半随机误差的数值落在-ρ- +ρ范围以外,故有 平均误差θ 测量列算术平均误差θ的定义是：该测量列全部随机误差绝对值的算术平均值，用下式表示： 由概率积分可以得到θ与σ的关系： 五、标准差的几种计算方法 （一）等精度测量列中单次测量标准差的计算 1、贝塞尔(Bessel)公式 (2-15) 若将式(2-14)平方后再相加得： (2-16) 将式(2-15)平方有： 当n适当大时，可以认为 趋近于零，并将代入式(2-16)得： (2-17) 由于 ，代入式(2-17)得 ： ，即 (2-18) 例 用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据表中所示 。求算术平均值及标准差。 2、别捷尔斯法 由贝赛尔公式得： 进一步得： 则平均误差有： 由式(2-6)得： 故有： (2-26) 例4 用别捷尔斯法求得该表中数据的标准差。 若等精度多次测量测得值 服从正态分布，在其中选取最大值 与最小值 ，则两者之差称为极差： (2-28) 根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为 (2-29) 因 故可得 的无偏估计值，若仍以 表示，则有 (2-30) 式中 的数值见表2-4。 4、最大误差法 当测量的真值或满足规定精度的用来代替真值