一道高考题的拓展.docVIP

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2017-09-11 发布于湖南
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一道高考题的拓展.doc

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（2013年广东卷理科第20题）已知抛物线的顶点为原点，焦点，焦点到直线的距离为，设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中为切点. （1）求抛物线的方程；（2）当点为直线上的定点时，求直线的方程；（3）当点在直线上移动，求的最小值. 拓展1 若阿基米德三角形的底边弦过抛物线内定点，则另一个顶点轨迹为一条直线. 证明：如图1，设，，，，则过点的切线方程为，过点的切线方程为，又，，可求得两切线的交点，即，于是，因为三点共线，所以，有，即，整理后，将，代入上式，得，即为点轨迹方程，它表示为一条直线. 拓展2 若直线与抛物线无公共点，则以直线上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点. 证明：如图1，设直线的方程为，，，，，由于弦过点，由拓展1知，点轨迹方程为，该直线方程与表示同一条直线，于是有，即弦过定点. 注：试题第（2）问，直线的方程恒过定点. 拓展3 若阿基米德三角形的底边弦过抛物线的焦点，则顶点轨迹方程为抛物线的准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为. 证明：如图2，设，，，，由拓展1知，若底边过焦点，则，点的轨迹方程为，即抛物线的准线. 易证，，所以，故，阿基米德三角形为直角三角形. 于是，有，因为点，点，于是轴，所以，当且仅当时，等号成立. 故，阿基米德三角形的面积的最小值为.