同构及同态在代数中的应用本科论文.docVIP

同构及同态在代数中的应用 摘要：在近世代数的主要内容是研究所谓代数系统，即带有运算的集合。近世代数在数学的其他分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用，而在近世代数中，同态与同构是一个极为重要又较为初等的概念，它们是相互联系又有所不同的。同态是保持代数系统结构的映射，是同构的推广。在不同的代数系统中同态成为同构的条件不同，本文给出了同态成为同构的条件，论述了同构在不同代数系统上的一些应用，从中说明了同态与同构的重要性。 关键词：同态；同构；群；环 在近世代数的主要内容是研究所谓代数系统，即带有运算的集合，近世代数在数学的其他分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用，而在近世代数中同态与同构又是其一等重要的概念，在近世代数中有重要的作用。 为了深入研究代数系统的结构，须将同类型的代数系加以比较，以得到这种体系更为本质的性质，使得将这种类型的代数系统分类成为可能，分类的目的就是减少研究对象，即通过对少数特殊代数系的研究，把结果移植到与其有相同或相似结构的对象中。同构与同态就是实现这种分类的主要途径，也是代数学的最基本的研究工具。 1. 代数系统的同态与同构 1.1同态映射及同态的定义 一个到的映射，叫做一个对于代数运算和来说的，到的同态映射，假如，在之下，不管和是的哪两个元，只要 ， 就有 同态的定义 假如对于代数运算和来说，就有一个到的满射的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算和来说，与同态。 1.2.同构 定义: 我们说，一个与间的一一映射是一个对于代数运算与来说的，与间的同构映射（简称同构），假如在之下，不管，是的哪两个元，只要 ， 就有 假如在与之间，对于代数运算与来说，存在一个同构映射，我们说，对于代数运算与来说，与同构，并且用符号来表示。 定义 对于与来说的一个与间的同构映射叫做一个对也来说的的自同构。 自同构映射也是一个极为重要的概念。 同态与同构的联系 1）从定义上看 2）一个无限集可以与它的子集同态或同构，但一个有限集只能与它的子集同态而不能同构如 例4 建立实数集到正实数集的映射，，的运算为数的加法，的运算为数的乘法，因为，因此该映射是到正实数集的一个同态映射。 关于代数系统的同态有以下定理： 定理1 假定，对于代数运算和来说，与同态。那么，（1）若适合结合律，也适合结合律；（2）若适合交换律，也适合交换律。 定理2 假定，，都是集合的代数运算，，都是集合的代数运算，并且存在一个到的满射，使得与对于代数运算，来说同态，对于代数运算，来说也同态。那么，（1）若，适合第一分配律，，也适合第一分配律；(2)若，适合第二分配律，，也适合第二分配律。 2.群的同态与同构 2.1群的同态与同构定义 定义： 给定群和群称集到集的一个映射：是群到群的一个同态映射（简称同态），如果对任意，，有 当是单（满）射时，称为单（满）同态； 当是一一映射时，称为与间的同构映射（简称同构，记为）； 当是群到群得一个同态时，令ker={|，是 的单位元}，称之为的核。 3.2同态与同构在群中的应用 研究各种代数体系就是要解决这些代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。如果这些问题都得到完满的解答就算达到了目的。研究群时，需要明白共有多少个不同的群，每个群的结构如何，结构相同的群如何对待等。对群进行比较时,采用的主要工具就是同态和同构. 群的同构是一个等价关系，彼此同构的群具有完全相同的性质。通过对群的比较,从而揭示出两个群的某些共同性质,以至区别二者的异同。在群论中，主要研究本质上不同的群之间的关系，所以同构是群论中非常重要的手段。这无疑是在群的研究中具有重要意义的基本观念和基本理论,同时也是实践性很强的基本方法. 便于分类 对于同构的群与,我们认为与是代数相同的,因为这是对于近世代数所研究的问题来说,除了符号与名称上的区别之外,二者没有实质的差异. 例4：设两个群和，其中： 　 作其中：，显然，是双射，且： 于是知： 　　 与这两个群没有实质性的差异，其中一个是另一个以不同符号和名称实现出来的结果。 再如：循环群的结构定理：设是由生成元生成的循环群， 如果，那么. 如果，那么. 用代数同构观点，循环群只有二个。一个是整数加群，另一个是模的剩余类加群. 定理 设为群，为一个带有乘法运算的非空集合，若存在为满同态映射，则也是一个群.（该定理提供了一个借助已知群判定群的方法） 例2: ,运算为：这里，下证关于这个运算作成群。取整数集，运算为普通的加法，建立映射:,若，则令 ，可知该映射是一个同态满射，经过证明可知为群。 定理 设是群到群的同态. 若是的单位元