四元数在图形学中的应用.pdfVIP

维普资讯 福 建 电 脑 20o5年第 11期 四元数在图形学中的应用 吴拥民 (闽江学院计算机科学系。福建 福州 350108) 【摘 要】 本文以复数为引导介绍四元数的代数模型，有效减低了学习难度。基于四元数的几何模型，进一步介绍 了四元数在计算机 图形学 中的方向插值和旋转应用，为从事实时图形绘制 的技术人员提供 了理论基础 。 【关键词】 图形学，四元数，应用 1 前官 (3)逆 ： 四元数是由WmiamRowanHamilton在 1843年爱尔兰发现 1 的数学概念，并作为复数的扩展。如把四元数的集合考虑成多维 - 1 ^ f甘 l甘nG)=暂’ J 实数空间的话，四元数就代表著一个四维空间，相对于复数为二 维空间。但是直到 1985年才有 Shoemaketl将其引入计算机图形 2．2．2四元数 的运算规则 学领域。在计算机图形学中。在图形旋转和球面线性插值方面。 (1)共轭法则：G’)= )，(+声)’=’+’， 四元数是一个用来构造强制变换的有力工具 。 户)．=，’’ 2 四元组的代数模型 复数扩展了实数，数集本身的内部结构发生了变化。使得数 (2)范数法则：n )=n)，(驴)=n ) 集中可以实施得运算增多。这种扩展是一种质的变化。四元数扩 (3)乘法定律 ： 展了复数，主要扩充了虚部 ，它是复数的一个超集，这种扩展是 线性关系：h(s4+ )= + 户。( +tq)声= 户+缉 一 种量 的变化 。因此 ，四元数同复数一样都可 以用 向量和三角函 数来表示圈。 结合关系：pQ)= 辱 2．1四元数 的表示及相关定义 不可交换关系：p尊≠ 复数可表示为数、向量和三角函数 3种形式，四元数也同 2．3单位 四元数 样。但是在计算机图形学中，向量表示和三角函数表示更经常用 单位复数的的模 ll=l，其三角函数形式可表示为： 到 。三角函数表示一般用于单位四元数 。 Z=(sin ，cos~)=isin#+cos#= 2．1．1向量表示 复数的向量表示是 2维的，可写为： 单位四元数毒=(，q)的范数，如)=l，因此 (1)单位 四元数三角函数表示为 ： z=(6)=a+ib 其中，a为实部；6为虚部，为虚部单位 ，括一1。 毒=(sin ，cos~b)=sin帆 +COS=e 四元数的向量表示是4维的，为了区别给其带一个帽子。可 写为： (2)单位 四元数对数表示为 ： q= q【，qw)=q+qw=tqx+Jq+幻z+qw l。gQ)=log )·= 其中， 为实部； 为虚部，qo=iq．+jq g=(吼，gy，)， (3)单位 四元数幂表示为 ： iJ，k为虚部单位