2二重积分计算.ppt

§2 Evaluation of Double Integral 一、 Double Integral in Rectangular Coordinates 当被积函数 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , Eg.2 计算 Eg.5 交换下列积分顺序 性质: 设函数 Eg.10 计算 小结 思考与练习 二、 Double Integral in Polar Coordinates Eg.2 计算 注: Eg.6 求球体 小结 1. 计算二重积分 设 D : 则 若 f ≡1 则可求得D 的面积 特别,若D: 则 D: 进一步,若 则 Sol. 其中 Sol. 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算. 利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上, 当D 为 R2 时, 利用例2的结果, 得 ① 故①式成立 . Sol. Sol. Sol. A 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. Sol. 设 由对称性可知 * 如果积分区域 D 为： 其中函数 、 在区间 上连续. ［X－型区域］ X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得 根据二重积分的几何意义,当 时, D 如果积分区域 D 为： ［Y－型区域］ Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的二次积分法仍然有效 . 由于 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 Eg.1 注意两种积分次序的 计算效果！ Sol.1 将D看作X–型区域, 则 Sol.2 将D看作Y–型区域, 则 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. Sol. 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 Eg.3 Sol. X-型 Eg.4 Sol. 积不出的积分，无法计算。 由以上几例可见，为了使二重积分的计算较为简便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，同时还要兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. Sol. 积分域由两部分组成: 视为Y–型区域 , 则 Sol. 积分域由两部分组成: D1 D2 视为Y–型区域 , 则 Eg.7 Sol. Sol. Sol. 化二重积分为二次积分时选择积分次序的重 要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差 别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题 目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出 来. 另外交换二次积分的次序：先由二次积分找 出二重积分的积分区域，画出积分区域，再交换积 分次序，写出另一种次序下的二次积分. 以上各例说明 D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 在 D 上 在闭区域上连续, 域 D 关于x 轴 则 则 仍有类似结果. 在第一象限部分, 则有 对称 , 其中D 由 所围成. Sol. 令 (如图所示) 显然, Eg.11 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积. Sol. 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 Sol. 曲面围成的立体如图. 二重积分在直角坐标下的计算公式 （在积分中要正确选择积分次序） ［Y－型］ ［X－型］ 1. 设 且 求 解: 交换积分顺序后, x , y互换 2 解 先去掉绝对值符号，如图 将D 分为 添加辅助线 利用对称性 , 得 3. 计算二重积分 解:积分域如图, 其中 D由直线 围成 . 证明 证:左端 5. 证:左端 练 习 题 练习题答案