Banach空间二阶周期边值问题解的存在性.pdfVIP

第39卷第21期 数学的实践与认识 Vo1．39No．21 2009年 11月 MATHEMATICSIN PRACTICE AND THEORY Banach空间二阶周期边值 问题解的存在性 王 澜 ，刘辉昭。 (1．河北经贸大学 数学与统计学学院，河北 石家庄 050061) (2．河北工业大学 理学院，天津 300130) 摘要 ： 通过构造格林函数，借助Banach空间中不连续增算子的不动点定理，研究了一类Banach空间中二 阶微分方程周期边值 问题解 的存在性． 关键词 ： Banach空间微分方程；格林函数；不连续增算子；不动点定理 1 引言及主要结果 本文考察如下Banach空间中二阶微分方程周期边值问题 x(t)~ mZx(t l(0) 1， 0 ，0 t 1，mE 州 ， ≠0 ㈩ 一 一 ()， ()一 z(1)， 三三三 ， l一 7r，丌J， ≠ 解的存在性 ，此类 问题在文献[1，2]中已被讨论过 ，但均要求了非线性项具有连续性，本文中 非线性项是不连续的，且在证明过程中，应用了上下解方法，其 中不要求上下解 同时存在 ，改 进和推广了已有的结果． 设E为实Banach空间，其范数记为 Il·ll，P为其正规锥 ，E中的序关系 “ ”由P引出． I— Eo，1]，C(I，E)为定义于 取值于E 的连续函数按范数 Jj JJ—maxf()I构成 的 Banach空间，其半序由正规锥 P 一 {zEC(I，E)I．72(f)三三= ，tEI}引出．对 “，EC(I， E)，“ ，记 [“，]为C(I，E)中的序空间 {zEC(I，E)I aT 7Y}，取 。EC(I，E)，令 K 一 {z∈C(I，E)， 三三三“。}．F(，x(t))：R ×E— E对任意的x(t)∈C(I，E)在 上是 Bochner可积 的． 下面列出本文证明所引用的主要定理 ： 定理1口 设 E是一实Banach空间，PcE是一个锥并导出序关系 “ ”，即 Y当且 仅当j，一zEP，“。EE， 。+P= {： 三三三“。， EE}，A是一个从 “。+P到 E的算子 ， 若 满足 (H1)A是增算子，即对任意的z，YE 。+P，z Y，有 Ax Ay；(H2)12。 Auo；(H3)若 C一 {z)c “。+P可数 、全序并且C(二二cl({z}UA(C))，则C相对紧，那么 A在 “。+P中至少有一个不动点． 定理2[3] 在定理 1的假设下 ， 在 “。+P 中有最小不动点． 定理3[3 除(H1)，(H2)与 (H3)之外 ，若A 还满足 (H4)存在 。E “。+P使得 Av。 。 ，则 在 [“。，。]一 {zEE：“。 z 。}中有最小不动点和最大不动点． 定理4[] 设 D= {z}(二二 (，，E)，如果存在 E (，R+)，使得对于 Vz ED， 收稿 日期 ：2009—04—07 222 数 学 的 实 践 与 认 识 39卷 )I ()在，上几乎处处成立，则a({z(s)ds：三三=1))2a(D())ds． 定理5 设 PE (0，。。]，M cL (，E)可数且存在 z，E (，R+)使得对于所有 U∈ M，1(￡)1 ()于J上几乎处处成立 ，如果M ()在E上对几乎所有 tEI是相对紧的，则 M 在 L (，E)上弱相对紧． 本文做如下假设 ： (h1)F(f，)关于 是增的，即当 三三三．322时 ，有F(t，z1) F(f，2) (h2)3 “。EC (，，E)使得 (z) 一 U。(f)+F(f，“。)，其中 “(O) “(1)，“。(O)一 “(1)，0 t 1 (h3)] 。EC (，E)使得 (f) 一m。。()+F(f，。)