奇异二阶微分系统Neumann边值问题的一个正解.docVIP

奇异二阶微分系统Neumann边值问题的一个正解 张丽颖 （健雄职业技术学院 基础教学部，江苏 太仓 215411） 摘　要：本文研究了奇异二阶微分系统Neumann边值问题的正解问题，应用非线性Leray-Schauder抉择定理，证明了该问题存在一个正解。；Neumann边值问题；正解；Leray-Schauder抉择 中图分类号：O175.08　　　　 文献标识码：A 在许多文章里，存在性结果都是通过应用Kras- noselskii在引理[12]：假设K为Banach空间E的一个凸集，为K的一个相对开子集，，映射A：是一个紧映射，则下面二者之一成立：中有一个不动点。或者 且对常数，存在函数，使得，对任意 成立。其中是指对任意，且存在[0,1]上的正测度子集，: ，且在上，存在非负的连续函数，使得 对任意 ，且是单调不增的，是单调不减的，i=1,2; (H3) 存在一个正数r，使得 ， ； 定理：假设成立，则存在一个正解。 证明：我们将利用Leray-Schauder抉择定理和一种摄动技巧来证明存在性。 令，其中选取使得 固定,考虑下面的方程 其中则问题等价于求上的不动点问题 其中Tn如下 (5) 则对于任意的，(4)中的任意不动点x一定满足若不然，假设对某个，是(4)的一个解使得 因为，不失一般性，假设. 注意对任意 又知 (6) 选取n0满足 又有.运用(6)，， 因此， 这和n0的选取矛盾，则结论正确。 从这个结论看出，Leray-Schauder非线性抉择定理保证了(4)在内有一个不动点记作，即(3) 有一个解.因为满足(4)且对任意，是(3) 的一个正解。 下面证明解有一致有界的下界，即存在一个与无关的常向量 ，使得对任意, (7) 因为,由(H1)得到 类似地,, 所以有 为了把(3)递推到初始系统，需要有下面的结果，对某个常数H0和任意, (8) 首先，证明存在H1使得为此，利用边界条件，把(3)的第一个方程从0到1积分，得到 因为,则 类似地,有 令，于是 和(8)说明在［0,1］上是有界的而且等度连续。 由Arzela-Ascoli定理可知存在一个子列在[0,1]上一致收敛到对任意t，有, 而且满足积分方程 令，则 其中用到了在[0,1]上的一致连续性。所以，是(1)的一个正解。 参考文献： [1] H Dang,S F OPPENHEIMER.Existence and uniqueness results for some nonlinear boundary value problems[J].J Math Anal. Appl, 1996(198):35-48. [2] M A KRASNOSEL’SKII.Positive Solutions of Operator Equations [M].Noordhoff,Groningen,1964. [3] A. CABADA,P HABETS.Optimal existence conditions for φ -Laplacian equations with upper and lower solutions in the reversed order[J].J Differential Equations,2000(166):385-401. [4] A CABADA,P HABET,SUAUNA LOIS.Monotone method for the Neumann problem with lower and upper solutions in the reverse order[J].Applied Mathematics and Computation, 2001(117):1-14. [5] M CHERPION,C DE COSTER,P HABETS.A constructive monotone iterative method for second order BVP in the presence of lower and upper solutions[J].Applied Mathematics and Computation,2001(123):75-91. [6] Y Dong.A Neumann problem at resonance with the nonlinearity restricted in one direction[J].Nonlinear Analysis,2002(51): 739-747. Positive Solution to Neumann Boundary Value Problems of Singular Second Order Dif