广义函数（分布）的形成及在分析学中的影响.pptVIP

广义函数（分布）的形成及在分析学中的影响 1945年Laurent Schwartz的论文“函数概念、微分和Fourier变换的推广及其在数学和物理学中的应用”提出了广义函数（分布distributions）推广了普通函数（分析上的函数）并于1951年写了专著《分布论》（Théorie de distribution）。现已成 为数学中经典著作之一。它使分析学和许多分支得到了改造。 在1950年波士顿国际数学家大会上，L.Schwartz因分布理论而获得了菲尔兹奖，这也许是第一次，同时很可能也是最后一次，一种软数学并不是因解决了某个著名难题而获得这一奖励。评奖委员会毕竟显示了引人注目的远见卓识。 为什么会在那时候提出这样一个新的理论？我们分两方面来叙述。首先在物理学中，产生了一些“新”的函数，它符合物理上的规律，并且物理学也需要一类“新”函数，它的各种运算如微分、极限交换突破原来分析上太多条件限制。首先物理学 家Dirac为了研究量子力学定义了 （现在称为函数） ， ，且 其中 （表示无限次连续可微且有有限支集 的函数），支集是指函数不等于0的点集的闭包。它在量子力 学中起很大作用，但是当时数学家无法解释这个函数，但是在 物理上它是很自然的 。设在实数轴上给定了一个质量分布 （它的总质量是有限的），我们 用表示区间 上的质 量，由于 是区间 的质量，当 在 导数存在时， 表示这个质量分布在这点 的密度，这样质量分布密度函 数 是在 存在的点有意义。如果在整个直线上只是在 原点有一质量单位，从物理意义上看 它显然在 处密度 为0，而在 处密度为0， 就是 函数 的物理意义。从上式可知 而且物理学家在研究量子力学时认为 这是因为 但是当时的数学知识认为上式是没有极限的，所以当时数学 家称 为是病态函数。 物理学家与工程师们希望有这样一 种“新”的函数，有着许多好的性质，且包容原来的普通函数 这类“新”函数应有以下的性质： （1）原来的连续函数与可积函数都是“新”函数中的一点 （2）每一个新函数应该具有任意次偏导数，而且偏导数 也是新函数，且对于可微函数，导数的新概念应该与原来一 致（因而新函数是无穷次可微）； （3）运算的通常规则应成立，如 等等； （4）应该 提供某些收敛定理，使之足以处理通常的极限过程，但是要比分析中收敛定理要宽，如使 成立。 另外当时数学的发展也为建立这种新的函数打下了数 学方面的基础。在1936年，苏联数学家提出了普通函数的 任意阶偏导数的定义，若 定义：设 ，若满足 则称 ，其中 表示支集在 的无穷次连续可微函 数全体。 表示中局部勒贝格可积函数全体，局部是指对任 ，函数 。 从这普通函数的广义导数定义看，它是一种新的函数 ，不象原来求导且一次次求上去，而是不知道低阶导数是 否存在，就可以直接定义高阶导数。这为定义新的函数的 偏导数打下了基础。 Weyl（1940）在考虑弱解时，证明了弱调和函数是调 和的。下面我们解释一下 这结果，先考虑一个非齐Laplace 方程 若 则我们把上式两边乘以 就知 再把上式左端分不积分两次，我们就得到 上式中只要 勒贝格可积就可以了，这样我们就定义非齐次 Laplace方程的弱解，若 且满足上式那么就称是的弱 解。 Weyl 证明了若 则上述弱解只须在它的定义域 的零测集上校正一下它的值等于一个