北京四中高中数学 三角函数模型的简单应用提高知识讲解 新人教A版必修1.docVIP

三角函数模型的简单应用 【学习目标】 1.熟练掌握三角函数的性质，会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题； 2．利用三角形建立数学模型，解决实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【要点梳理】 要点一：三角函数模型的建立程序 要点二：解答三角函数应用题的一般步骤 解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、结论． （1）审题 三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题． （2）建模 根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式． （3）解模 利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结果． （4）结论 将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又要符合实际背景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判． 要点诠释： 实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题． 【典型例题】 类型一：三角函数周期性的应用 例1．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速运动，每3 min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低点处，已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h． 【思路点拨】（1）由实际问题求出三角函数中的参数A，h，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（t）可得． 【答案】（1）（2）1分钟 【解析】（1）以中心O为坐标原点建立如图所示的坐标系，由题意可知：A=0，h=0，T=3，，又，，，所以． （2）令， 所以，所以， 所以，所以3k+1＜t＜3k+2． 令k=0，得1＜t＜2． 因此，共有1分钟时间距地面超过70 m． 【总结升华】 实际问题的解决要求我们在阅读材料时读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，将问题数学化，自行假设与设计一些已知条件，提出解决方案，从而最终解决问题． 举一反三： 【变式1】如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP．为保护参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°．求A，ω的值和M，P两点间的距离． 【答案】 5 【解析】 依题意，有，， 又，∴．∴，x∈[0，4]． ∴当x=4时，．∴M（4，3）．又P（8，0）， ∴（km）． 类型二：三角函数模型在天气中的应用 例2. 下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表：（时间近似到0.1小时） 日期 1月 1日 2月 28日 3月 21日 4月 27日 5月 6日 6月 21日 8月 13日 9月 20日 10月 25日 12月 21日 日期位置 序号x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355 白昼时间 y（小时） 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4 （1）以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标（如下图）中画出这些数据的散点图； （2）试选用一个形如的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系；（注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算） （3）用（2）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时？ 【思路点拨】先作散点图，结合图象求出中的，最后利用函数模型，解不等式可得． 【答案】（1）略（2）（1≤x≤365，x∈N*）（3）121天 【解析】 （1）如图所示． （2）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为， 由题中图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4， 即ymax=19.4，ymin=5.4， 由19.4－5.4=14，得A=7； 由19.4+5.4=24.8，得t=12.4． 又T=365，∴． ∴（等于，，，均可）． ∴（1≤x≤365，x∈N*）． （3）由y＞15.9，得， ∴， ，∴112≤x≤232． ∴该地大约有121天白昼时间大于15.9小时． 【总结升华