直线与圆的位置关系点击.docVIP

直线与圆的位置关系点击 安徽　李庆社 　　1.直线与圆的位置关系 　　【探究·活动】　在纸上画一条直线,把一个圆硬币的边缘看作圆,在纸上移动硬币,探索直线与圆的公共点个数的变化规律,最少时有几个?最多时又有几个? 由此你认为直线与圆有几种位置关系呢? 　　直线与圆的位置关系有三种: 　　⑴如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离. 　　⑵如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点. 　　⑶如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点. 　　2.直线与圆的位置关系的特征与识别 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 图示 直线与圆的公共点个数 0 1 2 圆心到直线的距离d和半径r的关系 d＞r d=r d＜r 公共点名称 无 切点 交点 直线名称 无 切线 割线 　　3、切线 　　（1）切线的判定和性质 　　切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 　　切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径 　　注意:要识别直线是否为圆的切线,常用以下两种方法: 　　①到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。如果直线和圆的公共点没有确定，则过圆心，作已知直线的垂线段，再证这条垂线段等于半径，即“作垂线证半径”。 　　②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。即已知直线与圆有一个公共点时，连结这点和圆心再证直线与这条半径垂直，简称：“连半径证垂直”； 　　切线的性质定理也有两个推论: 　　①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 　　②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 　　（2）切线长与切线长定理 　　圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．右图中PA、PB的长就是点P到⊙O的切线长． 　　由前面的知识可知,过圆上一点可以引一条直线与圆相切，所以有：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 　　即:如上图,因为PA、PB是⊙O的切线,所以PA＝PB,∠APO＝∠BPO． 　　例1　在平面直角坐标系中,以A (1,2)为圆心的圆的半径满足下列条件时,分别求出其半径的取值范围:⑴与坐标轴只有唯一交点;⑵与坐标轴只有两个交点;⑶与坐标轴只有三个交点;⑷与坐标轴有四个交点. 　　【研析】因为点A到x轴的距离是2,到y轴的距离是1,所以与坐标轴只有唯一交点,就是与y轴相切而与x轴相离;与坐标轴只有两个交点,就是与y轴相交而与x轴相离;与坐标轴只有三个交点,就是与y轴相交而与x轴相切;与坐标轴有四个交点,就是与x轴、y轴都相交. 　　解:⑴r＝1;⑵1＜r＜2;⑶r＝2;⑷r＞2. 　　例2　在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝4,BC=3,若以C为圆心画⊙C,当⊙C的半径r为多少时?⊙C与线段AB的交点分别为0个、1个、2个. 　　【研析】首先审题要清,不能误以为⊙C与直线AB的交点分别为0个、1个、2个.⑴⊙C与线段AB的交点分别为0个,有两种情况:⊙C与直线AB相离或点A在⊙C内而点B也在⊙C内;⑵⊙C与线段AB的交点分别为1个,有两种情况:⊙C与直线AB相切或点B在⊙C内而点A在⊙C外;⑶⊙C与线段AB的交点分别为2个,有两种情况:线段AB与⊙C相交或点A在⊙C外而点B和线段AB上其它一点在⊙C上. 　　解:先求点C到AB的距离d,利用Rt△ABC的面积的两种求法来求出CD的长,因为 　　AB＝ 　　而S△ABC＝AB·CD＝AC·BC 　　所以　5CD＝3×4, 　CD＝＝2.4 　　所以 当⊙C的半径r满足r﹤2.4或r﹥4时,⊙C与线段AB的交点分别为0个;当⊙C的半径r满足r=2.4或3﹤r﹤4时,⊙C与线段AB的交点分别为1个;当⊙C的半径r满足2.4﹤r≤3时,⊙C与线段AB的交点分别为2个. 　　例3　已知,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D＝90°,AB是⊙O的直径,且AB＝AD+BC,试说明:CD是⊙O的切线． 　　【研析】要说明一条直线是圆的切线,有两种方法,此题因为不知CD是否过⊙O上的点,所以要说明CD是⊙O的切线,只好说明圆心O到直线CD的距离等于⊙O的半径． 　　证明　过O作OE⊥CD,垂足为E,则OE∥AD∥BC． 　　又AO＝BO,所以DE＝CE．所以 OE是梯形ABCD的中位线, 　　所以 ． 　　又因为AB＝AD+BC,所以． 　　即圆心O到直线CD的距离OE等于⊙O的半径,所以 CD是⊙O的切线． 　　例4　下列结论正确的是　　　　　　　　　　　　　（　　） 　　A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线 　　B.经过半径外端的直线是圆的