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与圆有关的位置关系重难点研习 　 　　 研习点1　点与圆的位置关系 　　1.点与圆的位置关系 　　⑴如图,设⊙O的半径为r, 　　①若点A在⊙O内,则OA＜r;反过来,若OA＜r,则点A在⊙O内.②若点B在⊙O上,则OB=r;反过来,则OB=r,则点B在⊙O上. ③若点C在⊙O外,则OC＞r; 反过来,若OC＞r,则点C在⊙O外. 　　⑵其关系列表如下: 点与圆的位置关系 d与r的大小关系 点在圆内 d＜r 点在圆上 d＜r 点在圆外 d＜r 　　其中:r为圆的半径,d为点到圆心的距离. 　　[类比·扩展] 　　⑴点与圆的位置关系,与初一学习的点与角的位置关系一样,也有三种情况. 　　⑵如果一个几何图形是封闭图形,点与该封闭图形的位置关系一般都有三种情况:点在此封闭图形内;点在此封闭图形上;点在此封闭图形外. 　　⑶圆心只是用来确定圆的位置, 圆心不是圆的一个部分, 圆心在圆内. 　　2.我们知道:两点确定一条直线,那么至少需要多少个点可以确定一个圆呢? 　　[归纳·总结] 　　⑴过一点A可以画无数个圆,圆心是除点A外任意一点． 　　⑵过两点A、B可以画无数个圆,这些圆的圆心在AB的垂直平分线上． 　　⑶不在同一直线上的三个点确定一个圆．如上图示，过三点Ａ、Ｂ、Ｃ所作的圆Ｏ的圆心在线段ＡＢ、ＢＣ的垂直平分线的交点处。如果A、B、C三点在一条直线上,不能画出经过这三点的圆．因为AB、BC的垂直平分线互相平行,没有交点,所以过同一直线上的三点不能画圆 　　3.三角形与圆 　　经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点, 　　[梳理·总结] 　　⑴任何一个三角形都有一个外接圆,而一个圆有无数个内接三角形. 　　⑵锐角三角形的外心在锐角三角形的内部;直角三角形的外心在斜边的中点;钝角三角形的外心在钝角三角形的外部. 反之亦然. 　　⑶三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 　　典例1:如图,已知 ⊙O的半径为r＝10 ,圆心O到直线l的距离OD＝6 ,在直线上有A、B、C三点,且AD＝6 ,BD＝8 ,CD＝5 ．问A、B、C三点对于⊙O的位置关系各是怎样? 　　【研析】只要计算出这些点到圆心的距离,看其是大于、等于还是小于圆的半径,就可以相应得出点在圆外、圆上、圆内的位置关系来． 　　解:连结OA,在Rt△AOD中, ＜10,即OA＜r,则点A在⊙O内; 同理,,即O B =r,则点B在⊙O上; ＞10,?即OC＞r,则点C在?⊙O外． 　　 研习点2 直线与圆的位置关系 　　1.直线与圆的位置关系 　　直线与圆的位置关系有三种: 　　⑴如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离. 　　⑵如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点. 　　⑶如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点. 　　2.直线与圆的位置关系的特征与识别 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 图示 直线与圆的公共点个数 0 1 2 圆心到直线的距离d和半径r的关系 d＞r d=r d＜r 公共点名称 无 切点 交点 直线名称 无 切线 割线 　　典例2:在平面直角坐标系中,以A (1,2)为圆心的圆的半径满足下列条件时,分别求出其半径的取值范围:⑴与坐标轴只有唯一交点;⑵与坐标轴只有两个交点;⑶与坐标轴只有三个交点;⑷与坐标轴有四个交点. 　　【研析】因为点A到x轴的距离是2,到y轴的距离是1,所以与坐标轴只有唯一交点,就是与y轴相切而与x轴相离;与坐标轴只有两个交点,就是与y轴相交而与x轴相离;与坐标轴只有三个交点,就是与y轴相交而与x轴相切;与坐标轴有四个交点,就是与x轴、y轴都相交. 　　解:⑴r＝1;⑵1＜r＜2;⑶r＝2;⑷r＞2 . 　　 研习点3、切线 　　1.切线的判定和性质 　　切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 　　切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径 　　注意:要识别直线是否为圆的切线,常用以下两种方法: 　　①到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。如果直线和圆的公共点没有确定，则过圆心，作已知直线的垂线段，再证这条垂线段等于半径，即“作垂线证半径”。 　　②　经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。即已知直线与圆有一个公共点时，连结这点和圆心再证直线与这条半径垂直，简称：“连半径证垂直”； 　　切线的性质定理也有两个推论: 　　经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 　　经过切点且垂直于