数学多媒体课件－双曲线及其标准方程.pptVIP

数学多媒体课件 双曲线及其标准方程 前言 演示 定义比较 问题及思考 方程推导 问题研究（一） 问题研究（二） 自主学习 课堂小结 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三个量a,b,c的值。 ① ② ③ ④ 作业 作业：课本P108习题3（必做）4（选做） 预习作业：阅读教材《双曲线的简单几何性质》，并且与椭圆进行比较。 * * 江苏省扬中高级中学 韩义章 O x y P F1 F2 P 众所周知，双曲线是数学领域里一个完美的对称图形。有人说，双曲线是两只背对着平放的高脚酒杯的形状；双曲线的中间部分像精美的咖啡杯，所以双曲线会被有创意的人当作酒吧的招牌。 唐代诗人李贺在《梦天》里用“一泓海水杯中泻”描写彗星出现在夜空中的美丽情景。彗星的轨道有三种：椭圆、抛物线、双曲线，在已算出轨道的彗星中，各占40%、11%和49%。如果彗星的轨道是椭圆的，则称为“周期彗星”。如果彗星的轨道是抛物线或是双曲线，则称为“非周期彗星”，它们都是从太阳旁边擦肩而去，一去不复返。 双曲线在科技和生产领域中有着广泛的应用，人们设计了双曲线型的通风塔，利用双曲线的几何性质来卫星定位和雷达导航。 通风塔 导航 定位 椭圆——平面内与两个定点F1、F2 的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。 双曲线——平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。 O x y F1 M F2 O x y F2 F1 M (1)|MF1|与|MF2|哪一个大? M F1 F2 M 当M在双曲线的左支时,|MF1||MF2| 当M在双曲线的右支时,|MF1||MF2| (2)点M与F1 、 F2的距离之差的绝对值与|F1F2|的关系如何？ 由三角形的两边之差的绝对值小于第三边可知 ||MF1|-|MF2|||F1F2| (3) F1 、 F2为两定点，M为动点，如记 ||MF1|－|MF2||=2a ,|F1F2|=2c，当a=c时， 动点M的轨迹是什么？ M M的轨迹是以F1 、 F2为端点的两条 射线，如右图。 y o x M F1 F2 y O x M F1 F2 如图，建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F1、F2，并且点O与线段F1F2的中点重合。 设M(x,y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c (c0)，那么，焦点F1、F2的坐标分别是(－c,0)、(c,0) ，又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线焦点在x轴上，焦点是F1 (－c,0) 、F2(c,0) ，这里c2=a2+b2 由定义可知，双曲线就是集合 P＝{M| |MF1|－|MF2|=±2a}, ∵|MF1|= ,|MF2|= ∴ 化简得(c2－a2)x2－a2y2=a2(c2－a2) 又由双曲线的定义可知，2c2a,即ca,所以c2-a20, 令c2-a2=b2,其中b0，代入上式，得：b2x2－a2y2=a2b2 两边除以，得 (a0,b0) y O x M F1 F2 如果双曲线的焦点在y轴上，如右图，焦点是F1(-c,0),F2(c,0)，a、b的意义同上，那么只要将上述方程中的x、y互换，就可以得到它的方程： 思考：如何根据双曲线的方程判断焦点的位置？ 化为标准方程后根据字母项系数的正负号可以判别。 这个方程也是双曲线的标准方程。 再请指出焦点坐标 问题研究（一） 问题研究（二） 已知双曲线两个焦点的坐标为F1(-5,0)、F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程 解：因为双曲线的焦点在x轴上，设它的标准方程为 (a0,b0) ∵ 2a=6 , 2c=10 , ∴ a=3 , c=5 , ∴b2=52-32=16 所以所求的双曲线的标准方程为 练习:如果方程 表示双曲线， 求m的取值范围. 分析: 方程 表示双曲线时，则m的取值 范围______