换元积分法.ppt

* 课件制作：罗桂銮 3.2 换元积分法 ? 显然，利用直接积分法求出的不定积分是有限的，必须有多种不定积分的求解方法。下面就给出由复合函数求导公式得到的不定积分的换元积分法。 3.2.1 第一换元法(或称凑微分法) 3.2　换元积分法 3.2.1 第二换元法 引例 (因为 d(3x) = 3dx). 3.2.1 第一换元法(或称凑微分法） 令 u = 3x， 则上式变为 那么， 也就是说上述结果正确. 一般地，能否把公式 定理 1 回答这个问题. 定理 3.1　(第一换元法) 若 ，且 有连续导数， 则 用上式求不定积分的方法称为第一换元法或凑微分法，用更形象的式子表示就是 定理所提供的积分方法称为换元积分法.它的思路是： 将不易积分的 变形为易于积分的 在有些情形下, 可直接变形为基本积分表中的 的被积表达式 (或 是常数),利用 基本积分公式即可求得 这种简单情形,我们 称它为第一换元积分法,由于它是将积分式通过微分变形 直接凑为基本积分表中的形式,所以我们习惯称之为 凑微分法. 下面通过例题来解释这种积分方法 下面有几个典型例题,可以通过操作公式“编辑器:来向 同学们讲授这一积分方法,也可以作为课堂上的练习题 一边讲一边练习. 注 凑微法是计算不定积分时使用频率最高的一种技巧，我们不但要熟记基本积分公式，还要掌握一些常用的凑微分形式，如： 补充例题1： 解 求 补例2 求 解 请大家翻开书，第71页 第4大题，请将每一题的 “凑微分”做成功，并书写在书上 （因为版面有限，只要到能直接积分即可， 不一定作出结果） 其中的 (1)(3)(4)(8)题是本次课后的作业题, 请认真地将解题过程写到作业本上去. 3.2.2 第二换元积分法 定理 2　(第二换元法) 设函数 f (x) 连续， 函数 x = j (t) 单调可微， 且 j ?(t) ? 0， 则 第一换元积分法虽然应用较广,但对于某些积分就不适用 例: (1).简单根式代换 例1.求 解: 设 ,则 ， ，于是， 补充例题求 解　为了去掉被积函数中的根号， 则 dx = 2tdt ， 于是有 * 回代变量， 得 补例 　求 解　被积函数含根式 为了去掉根号， 于是有 则 dx = 4t3 dt， 回代变量， 得 (2).三角代换 例 14　求 于是有 解 ≤ ≤ 则 dx = acost dt， 把变量 t 换为 x . 为简便起见， 　画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图. 于是有 x a t 例 15　求 解 则 dx = asec2 tdt ， 于是有 　　　　　　　　　作辅助三角形， 得 a x t 其中 C = C1 - lna .