泰勒公式和泰勒级数.pptVIP

无穷级数 三、幂级数的性质 注 : 常用已知和函数的幂级数 三、小结 * 一 幂级数 — 定理1 如果幂级数 的系数满足条件 | | 则 (1)当0 l +?时, (2)当l =0时, R=+? ; (3)当l = +?时, R=0. 二 幂级数的收敛半径 1 加减法 设f(x)= 和g(x)= 的收敛半径 分别各为R10和R20 , 则 = f(x) ? g(x). 的收敛半径 R ? min{R1, R2}. 2 设幂级数 的收敛半径R0, 则在收敛区间(?R, R)内, 其和函数S(x)是连续函数. 若级数 在端点收敛, 则S(x)在端点单侧连续. 3 幂级数 的和函数S(x)在收敛区间(?R, R)内可导, 并可以逐项求导任意次, 且求导后级数的收敛半径不变. 即 f?(x) = x ?(?R, R) 4 幂级数 的和函数S(x)在收敛区间(?R, R)内可积, 并可逐项求积分, 且积分后级数的收敛半径不变. x ?(?R, R) 即 n=1 (an xn)? (1) (?1x1) (2) (3) (4) (5) 中值定理与导数的应用 二、麦克劳林(Maclaurin)公式 三、泰勒级数 一、泰勒公式的建立 §7.6 泰勒(Taylor)公式与泰勒级数 一次多项式 在微分的应用中有近似计算公式: 若 f? (x0)存在, 则在 x0点附近有 f (x) = f(x0) + f ?(x0) (x?x0) f (x) ? f(x0) + f ?(x0) (x?x0) + o(x?x0) 需要解决的问题 如何提高精度? 如何估计误差? 不足: 1. 精确度不高; 2. 误差不能定量的估计. 希望: 在x0点附近, 用适当的高次多项式 Pn(x)=a0+a1(x?x0)+a2(x?x0)2+···+an(x?x0)n ? f (x) 一、泰勒公式 猜想 2 若有相同的切线 3 若弯曲方向相同 近似程度越来越好 n次多项式系数的确定 1 若在x0点相交 Pn(x0)= f (x0) Pn? (x0)= f? (x0) Pn? (x0)= f? (x0) ?????? y=f(x) 假设 Pn(k)(x0)= f (k)(x0) y=Pn (x) x o y x0 即有 Pn(x) =a0 +a1(x?x0)+a2(x?x0)2+···+an(x?x0)n 假设 Pn(k)(x0)= f (k)(x0) Pn (n) (x) =n! an Pn? (x)=a1+2a2(x?x0)+3a3(x?x0)2+···+nan(x?x0)n?1 Pn? (x)=2a2+3?2a2(x?x0)+···+n?(n ?1)?an(x?x0)n?2 ?????? a0 = f(x0), 2a2=f? (x0), n!an=f(n)(x0), ?????? k=0, 1, 2, 3, ···, n 令x = x0得 a1=f?(x0), ?????? a0 = f(x0), a1=f?(x0), k=0, 1, 2, 3, ···, n 代入Pn(x)中得 Pn(x)=f(x0)+f ?(x0)(x?x0)+ (x?x0)2 + ··· + (x?x0)n Pn(x) =a0 +a1(x?x0)+a2(x?x0)2+···+an(x?x0)n 称为函数 f (x)在x0处的泰勒多项式. k=0, 1, 2, 3, ···, n 称为泰勒系数 f(x) = Pn(x) + o(x?x0)n . 其中 定理1 (泰勒中值定理) 若函数f(x)在x0点的某邻域UR (x0)内具有直到n+1阶连续导数, 则当x取UR (x0)内任何值时, f (x)可按(x?x0)的方幂展开为 f (x)=f(x0)+f ?(x0)(x?x0)+ (? 在x0与x之间) +Rn(x) 公式(1)称为函数 f (x)在x0处的泰勒公式. (1) Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)余项. 泰勒系数 k=0, 1, 2, ···, n 是唯一的. 设 f (x)= f(x0)+f ?(x0)(x?x0)+ k 证 由于f(x)在UR (x0)内具有n+1阶连续导数, 作辅助函数 ?(t)=f(x)?[f(t)+f ?(t)(x?t)+ ?(x)=0 =?(x0), 不妨设 x0x, 则?(t)在[x0, x]连续, 在(x0, x)可导, 罗尔定理知, 至少存在一点??(x0, x), 使??(?)=0