高中数学基础知识巩固第五章《数列》第2课　等差、等比数列.docVIP

第2课　等差、等比数列 【考点导读】 掌握等差、等比数列的通项公式、前项和公式，能运用公式解决一些简单的问题； 理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系； 注意函数与方程思想方法的运用。 【基础练习】 1．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，首项a1= -2 ，公差d= 3 。 2．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项是，第2项是 8 。 3．．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为二个），经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成 512 个。 4．设是公差为正数的等差数列，若，，则【范例导析】 例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 13 项。 （2）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 。 （3）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝ ∴ ∴n＝13 法2：设这个数列有n项 ∵ ∴ ∴ 又 ∴n＝13 （2）答案：2 因为前三项和为12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝＝4 又a1·a2·a3＝48， ∵a2＝4，∴a1·a3＝12，a1＋a3＝8， 把a1，a3作为方程的两根且a1＜a3， ∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴选B. （3）答案为。 点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。 例2．（1）已知数列为等差数列，且 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）证明 分析：（1）借助通过等差数列的定义求出数列的公差，再求出数列的通项公式，（2）求和还是要先求出数列的通项公式，再利用通项公式进行求和。 解：（1）设等差数列的公差为d， 由 即d=1。 所以即 （II）证明：因为， 所以 点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律。 例3．已知数列的首项（是常数，且），（），数列的首项，（）。 （1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列； （2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值； （3）当a0时，求数列的最小项。 分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由的不同而要进行分类讨论。 解：（1）∵ ∴ (n≥2) 由得，，∵，∴ ， 即从第2项起是以2为公比的等比数列。 （2） 当n≥2时， ∵是等比数列, ∴(n≥2)是常数， ∴3a+4=0，即 。 （3）由（1）知当时，， 所以，所以数列为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，…… 显然最小项是前三项中的一项。 当时，最小项为8a-1； 当时，最小项为4a或8a-1； 当时，最小项为4a； 当时，最小项为4a或2a+1； 当时，最小项为2a+1。 点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。 备用题．1．（1）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（ C ） A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值 （2）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ C ） A.130 B.170 C.210 D.260 解：（1）答案：C； 由S5S6得a1+a2+a3+…+a5a1+a2+…+a5+a6，∴a60， 又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0， 由S7S8，得a80，而C选项S9S5，即a6+a7+a8+a902（a7+a8）0， 由题设a7=0，a80，显然C选项是错误的。 （2）答案：C 解法一：由题意得方程组， 视m为已知数，解得， ∴。 解法二：设前m项的和为b1，第m+1到2m项之和为b2，第2m+1到3m项之和为b3，则b1，b2，b3也成等差数列。 于是b1=30，b2=100－30=70，公差d=70－30=40。∴b3=b2+d=70+40=110 ∴前3m项之和S3m=b1+b2+b3=210. 解法三：取m=1，则a1=S1=30，a2=S2－S1=70，从而d=a2－a1=40。 于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。 点评：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法二中是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质.解法三中，从