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浅析基于小波变换的图像压缩 摘要：小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) 小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法) 1.小波变换定义 前面讨论的短时傅里叶变换（STFT）其窗口函数通过函数时间轴的平移与频率限制得到，由此得到的时频分析窗口具有固定的大小。对于非平稳信号而言，需要时频窗口具有可调的性质，即要求在高频部分具有较好的时间分辨率特性，而在低频部分具有较好的频率分辨率特性。为此特引入窗口函数，并定义变换 （1.19） 其中，aR且a≠0。式（1.19）定义了连续小波变换，a为尺度因子，表示与频率相关的伸缩，b为时间平移因子。 很显然，并非所有函数都能保证式（1.19）中表示的变换对于所有f∈L2(R)均有意义；另外，在实际应用尤其是信号处理以及图像处理的应用中，变换只是一种简化问题、处理问题的有效手段，最终目的需要回到原问题的求解，因此，还要保证连续小波变换存在逆变换。同时，作为窗口函数，为了保证时间窗口与频率窗口具有快速衰减特性，经常要求函数ψ(x)具有如下性质： ≤，≤ 其中，C为与x,无关的常数，ε0。 2.小波变换的计算 从式（1.19）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。 ① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。 ② 计算该时刻的连续小波变换系数C。如图1.5所示，C表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。C愈大，表示两者的波形相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。 图1.5 计算小波变换系数示意图 ③ 如图1.6所示，调整参数b，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。 ④ 调整参数a，尺度伸缩，重复①～③步骤。 ⑤ 重复①～④步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图1.7所示。 图1.6 不同分析时段下的信号小波变换系数计算 图1.7 不同尺度下的信号小波变换系数计算 由小波变换的定义式（1.19），有 其中， 并设f (t)=f (kt)，t∈(k,k+1)，则  （1.20） 式（1.20）可以通过以上5步来实现，也可以用快速卷积运算来完成。卷积运算既可以在时域完成，也可以通过FFT来完成。在MATLAB小波变换工具箱中，连续小波变换就是按照式（1.20）进行的： //Matlab 实现连续小波变换的代码 precis = 10; //小波函数积分精度控制 signal = signal(:); len = length(signal); coefs = zeros(length(scales),len); nbscales = length(scales); [psi_integ,xval] = intwave(wname,precis);//计算从-∞到k的小波积分序列 wtype = wavemngr(type,wname); if wtype==5 , psi_integ = conj(psi_integ); end //判断是否为复小波，对复小波取共轭 xval = xval-xval(1); dx = xval(2); xmax = xval(end); ind = 1; for k = 1:nbscales //循环计算各尺度的小波系数 a = scales(k); j = [1+floor([0:a*xmax]/(a*dx))]; if length(j)==1 , j = [1 1]; end f = fliplr(psi_integ(j)); coefs(ind,:) =-sqrt(a)*wkeep(diff(conv(signal,f)),len);//计算公式（1.20） ind = ind+1; end 3、小波反变换  用卷积表示为： 4、连续小波基函数的选择 小波基函数选择可从以下3个方面考虑。 （1）复值与实值小波的选择 复值小波作分析不仅可以得到幅度信息，也可以得到相位