厄米特方程物理意义.doc

厄米特方程的物理背景及其物理意义 摘要：量子力学中，薛定谔方程给出了实物粒子具有恰当形式的波动方程。它告诉我们，对处于给定物理环境，诸如处于原子内部的某种粒子，怎样算出其量子振幅以及几率分布来，而它们又都是位置和时间的函数。我们由一维薛定谔方程研究线性谐振子问题，由此导出厄米特方程，给出解法并讨论其物理意义。 一.厄米特方程的推导 一维薛定谔方程有两种形式： （1） （2） 其中是描述具有波数和角频率的前进粒子波。式（1）并不明显地含有时间，叫做与时间无关的薛定谔方程，它提供了分析原子系统定态的基础，而式（2）则叫做与时间有关的薛定谔方程，是研究粒子从一点实际运动到另一点这类问题时，所应该使用的。 和自由粒子相比，束缚粒子的能量则限于一组分立的值，虽然如此，这些能态的数目，跟氢原子中一样，仍然是无限的。 对于一维的经典系统来说，单一简正模的驻波图样，有： 将代入式（1）中，并消去共同的指数因子，便得到只有空间因子的所遵守的常微分方程 （3） 必须事先给定，这样才能求解。人们于是发现，一般的情形是，仅只对于总能量E的某些特殊值，式（3）才有在物理上和数学上均可接受的解。这些特殊的E值，便是系统的量子化能级了。 如果在一唯空间内运动的粒子的势能为，是常量，则这种体系就称为线性谐振子。这个问题的重要性在于许多体系都可以近似地看作是线性谐振子。一般说来，任何一个体系在稳定平衡点附近都可以近似地用线性谐振子来表示。 现在我们来解量子力学中的线性谐振子问题，即求该体系的能级和波函数。选取适当的坐标系，使粒子的势能为，则体系的薛定谔方程可写为 （4） 为方便起见，引入没有量纲的变量代替，它们的关系是 ，； （5） 并令 （6） 以乘方程（4），（5），（6）式，薛定谔方程可以改写为 （7） 这是一个变系数二级常微分方程。为了求这个方程的解，我们先看看在的渐近行为。当很大时，与相比可以略去，因而在时，方程（7）可改写为 它的解为可以设为，是方程（7）的渐近解（即时的解）。因为波函数的标准要求当时应为有限，所以我们对波函数只取指数上的负号：。 （8） 先求出（8）式对的二级微商： 与（7）式联立可得： 可得 即： （9） 至此，我们得到了厄米特方程。 二.介绍厄米特方程的解法. 令，将它代入上述厄米特方程中有： 第一项中，V;第二项中; 可得： 上式可化为： 所以上述两式可以合并为一个式子表示： ，ν=0,1,2,3，…… 即得到递推公式： ，ν=0，1,2,3，…… 利用这个公式，可以由算出所有为偶数的，由算出所有为奇数的。 当v为偶数时，令v=2n，可得： 经过递推之后，可以得到： 当V为奇数时令v=2n+1，可以得到， 经递推之后可得 设 现在研究当很大时级数的行为。如果级数含无限多项，高次项的系数之比是 讲此式与的级数展开式比较 以表示这级数中的系数，=1+ 可见，当很大时，级数的行为与相同。由（8）式可知，此时在时变为无限大，与波函数的有限性条件相抵触。因此，级数必须在某一项中断而变为多项式。由（12）式可知，要使级数仅含有有限项（多项式），可以取为奇数： ，n=0,1,2,3 （13） 代入（6）式，可求得线性谐振子的能级为 ， n=0,1,2,3 因此，线性谐振子的能量只能取分立值。两相邻能级间的间隔均为： 这和普朗克假设一致。振子的基态（）能量 称为零点能，它是量子力学中所特有而在旧量子论中所没有的。 对应于（13）式中不同的或不同的，厄米特方程有不同的解。称为厄米特多项式，它可以用下列式子表示：