具有不同传染率的SI传染病模型的研究论文.doc

具有不同传染率的SI传染病模型的研究摘要：利用传染病动力学模型的基本知识和疾病传播的一般规律建立起具有与人口总数有关的双线性传染率的SI传染病模型，对SI传染病模型的平衡点做了局部稳定性分析，通过对平衡点对应的特征方程的讨论确定了局部稳定性的条件，并对平衡点的全局稳定性进行了数值模拟。关键字：传染病 SI模型 平衡点 稳定性The study of the SI Epidemic Model with different transmission ratesTANG Ying, ZHOU Hai-hua, LI Kai-e, LI Xin-hua, WANG Yu-fuAbstract: To Establish the SI epidemic model with bilinear infection rate by using the basic knowledge of dynamic model of infectious diseases and the general rules of the spread of disease, make a local stability analysis of the balance point of the SI epidemic model, then determine the conditions for local stability from the equilibrium point corresponding to the characteristic equation, and make a numerical simulation of the global stability.Keywords: Infectious disease SI epidemic model Balance point Stability1引言传染病的传播模型可追述到1760年Daniel Bernoulli对天花的分析；文献[1]中提到刘芳、胡志兴针对一类只在种群的成年阶段中传播的传染病建立了分阶段结构的传染病模型；文献[2]中提到Alello和Freedman提出了一种单种群阶段结构模型，并证明了该模型正平衡点存在唯一，且是全局渐近稳定的；郑丽丽、王豪、方勤华讨论了一类具有非线性传染率的阶段结构SI传染病模型，确定了各类平衡点存在的阈值条件，得到了各类平衡点局部稳定和全局稳定的条件。而对具有双线性传染率的SI传染病模型的各类平衡点的稳定性的研究还不是很常见。2模型的建立设是指时刻种群中的易感者（指未得病者但与感病者接触后容易受到感染）；为时刻种群中的感病者.建立如下一类具有双线性传染率的SI模型：(1)其中为自然增长率，为环境容量，为传染率，为死亡率，为恢复率.该SI模型的建立基于以下假设：(1)感染者与易感者的个体在人群中的混合是均匀的。(2)人群的数量足够大，只考虑传染过程的平均效应。(3)易感者感病的机会与他接触感病者的机会成正比。(4)不考虑出生于死亡的过程和人群的迁入与迁出。3模型的分析3.1平衡点的存在性 显然系统（1）存在非负平衡点,当且时，存在两个非负平衡点为边界平衡点，为正平衡点。3.2平衡点的稳定性显然，系统（1）在处的Jacobian矩阵为，从而它的特征方程为，解得特征根为，因为，所以，故系统在处不稳定。接下来首先考察系统的边界平衡点，将代入（1）中第一个式子，得到关于求解平衡点的方程,解得平衡点，。系统（1）的线性系数行列式为（2），其对应的Jacobian矩阵为，又因为此时，所以上述行列式化为，则此矩阵的迹为，行列式为，经分析可知，在处有，那么若，则为不稳定的平衡点，若，则为局部渐近稳定平衡点。所以，系统（1）在处的Jacobian 矩阵为，从而它的特征方程为，解得特征根为，当时，，此时系统在处局部渐近稳定；当时，，此时系统在处不稳定。以上是讨论了边界平衡点的稳定性情况，接下来讨论系统（1）的正平衡点的稳定性情况。由系统（1）的第二个式子得到，将其代入系统（1）的第一个式子，得到关于求解平衡点的方程,其中，，（舍去）。由（2）式可以知道，系统（1）在处的Jacobian矩阵为，从而它的特征方程为，解得特征根为，当时，，此时系统在处局部渐近稳定；当时，，此时系统在处不稳定。由于水平有限，故对平衡点的全局稳定性研究用以下数值模拟的方法来证明。3.3数值模拟在系统（1）中，取满足且，由上述证明过程知，无病平衡点和地方病平衡点在内是全局稳定的（见下图）。4模型的评价可通过对SI模型的分析和解的渐近性态来初步研究传染病的流行规律。SI模型是比较简单粗糙的模型，是在不考虑出生和死亡等种群动力学因素的情况下而建立的。若考虑传染病的潜伏期，在易