隔板法与不定方程正整数解的个数及其应用.pdfVIP

名师点金 触类旁通 隔板法与不定方程正整数解 的个数及其应用 ★ 江西 李春荣 将 个相同的小球放入 个( )不同的盒 例 将 个不同的小球放入 个不同的 n m m≤n 2 n+1 n 子里 要求每个盒子不空的放法种数 等价于将 盒子里 要求每个盒子不空 共有多少种不同放法 , , n , , ? 个相同的小球排成一列 在 个相同的小球形成的 解法一 因为每个盒子不空 所以应当有一个 , n , 个空隙 不含两端的 选出其中的 个空 盒子里放入 个小球 而其他每个盒子里放入 个 ( ) ( ) ( ) , n-1 m-1 2 1 隙插入隔板 每个空隙只插入 块 的不同插法种 小球 对该事件作如下分步 从 个不同的盒子 人 ( ) , :() 1 1 n 教 数 即共有不同放法 m-1利用这一 隔板法 结合对 中选 个来放 个球 方法数为 1 从 个 , “ ” , ;() C . 1 2 C 2 n+1 n-1 n 大 应思想可得 不定方程 的 不同的小球中选出 个小球来放入选出的盒子 方 纲 :() … ( ) , 1 x+x+ +x=nm≤n 2 1 2 m 正整数解的个数为 m-1;()不定方程 … 法数为 2 ;()将余下的不同小球放入剩下的不 专 C 2 x+x+ +x= C 3 n-1 1 2 m n+1 业 SSS ( )的非负整数解的个数为 m-1(等价于设 同盒子里 每个盒子放入 个小球 方法数为 n-1 精心策划 nm≤n C ( 1 ), A . n+m-1 n-1 , ,,…,,不定方程 …