隔板法解排列组合问题.pdfVIP

维普资讯 ÓÉ Foxit PDF Editor ±à¼- °æȨËùÓÐ (c) by Foxit Software Company, 2004 ½öÓÃÓÚÆÀ¹À¡£ 数学篇 ·教学随笔 · 《数理化解题研究》2005年第5期 首先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在 5 个空隙中任选一空插人一块隔板，有 c 种插法 ． 隔板法解排列组合问题 如 l00l0000l，然后将剩下的2块隔板插 入形 成空盒 ． 空盒形成有两种情形 ． 其一，这两块板分别与前面 3块 中任选 2块并 如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便 放形成不相邻的两个空盒．如 lIo0lIo000I，有ci 可看作成一行的小球的空隙中插人了若干隔板，相 种；其二，将 2块板一起与前面 3块板之一并放，形 邻两块隔板形成一个 “盒 ．每一种插人隔板的方法 成相邻的两个空盒，有c：种方法．如10llIo000O1． 对应着小球放人盒子的一种方法，此法称为隔板法 ． 故共有c(c；+c：)=30种． 隔板法专门解决相同元素的分配问题． 例2 将参加数学竞赛的20个名额分给9所学 例 l 6个相同的小球放入4个编号为 l、2、3、4 校，每所学校至少 1个名额，问名额分配方法有多少种 ． 的盒子．求下列放法的种数：①每个盒子都不空；② 分析 这个问题转化为用隔板将排成一排的20 恰有一个空盒子；③恰有 2个空盒子： 个相同的球隔开成九段，每段之间至少一个球．为达 解 ①先把 6个相同的小球排成一行，在首尾 到此 目的，可在两球之间的 19个空隙中选 8个空隙 两球外侧各放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙 放隔板，得到的结果对应一种分配方案，所以共有c8。。 中任选3个空各插一块隔板，有 =10种 ． 种分配方案． ② 恰有一个空盒，插板分两步进行． 例 3 l0个相同的小球放入编为 l，2，3的3个 先在首尾两球外侧各放置一板隔板，并在 5个空 盒子内，要求每个盒子的球数不小于它的编 号数，则 隔中任选 2个空各插一块隔板．如：10l000l00l， 有多少种不同的放法? 有 种插法，然后将剩下一块隔板与前面 4块板 中 分析 先在编号为 l，2，3的 3个盒子内分别放 的任意一块并放形成空盒 ．如 1010 00ll00I， 人0个，1个，2个小球，还剩下7个小球．问题转化 有c：种插法．故共有c ·C 40种． 为用隔板将排成一排的7个相 同的球隔开分成三 ③分两步进行 ． 段．每段之间至少有一个球，则有 =l5种分配方案． 少种分法?(答案为 l5种，即C62乙2c ÷A) (4)六个不同的小球分成三堆，一堆 3个，一堆 2 个，一堆 1个，有多少种分法?(答案为60种，即 c；)